NHIỆT LIỆT CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM ĐẾN BAgrave;I HỌC MỚI

KHỞI ĐỘNG

+ Necirc;u caacute;c vị triacute; tương đối của hai đường thẳng. Necirc;u caacute;c caacute;ch chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

+ Necirc;u caacute;c higrave;nh biểu diễn của: tam giaacute;c cacirc;n, higrave;nh vuocirc;ng, higrave;nh thang ABCD (AC//CD).

BAgrave;I TẬP CUỐI CHƯƠNG 4

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

Bagrave;i 1.

1. a) Cho bốn điểm khocirc;ng đồng phẳng, ta coacute; thể xaacute;c định được nhiều nhất bao nhiecirc;u mặt phẳng phacirc;n biệt từ bốn điểm đatilde; cho ?
2. b) Trong mp(alpha;), cho bốn điểm A, B, C, D trong đoacute; khocirc;ng coacute; ba điểm nagrave;o thẳng hagrave;ng. Điểm Snotin;mp(alpha;). Coacute; mấy mặt phẳng tạo bởi S vagrave; hai trong số bốn điểm noacute;i trecirc;n?
3. c) Cho 2 đường thẳng a,b cắt nhau vagrave; khocirc;ng đi qua điểm A. Xaacute;c định được nhiều nhất bao nhiecirc;u mặt phẳng bởi a, b vagrave; A ?

Giải

4. a) Do bốn điểm khocirc;ng đồng phẳng necirc;n khocirc;ng tồn tại bộ ba điểm thẳng hagrave;ng trong số bốn điểm đoacute;. Cứ ba điểm khocirc;ng thẳng hagrave;ng xaacute;c định một mặt phẳng necirc;n số mặt phẳng phacirc;n biệt coacute; thể lập được từ bốn điểm đatilde; cho lagrave; C_4^3=4.
5. b) Điểm S cugrave;ng với hai trong số bốn điểm A, B, C, D tạo thagrave;nh một mặt phẳng, từ bốn điểm ta coacute; 6 caacute;ch chọn ra hai điểm, necirc;n coacute; tất cả 6 mặt phẳng tạo bởi S vagrave; hai trong số bốn điểm noacute;i trecirc;n.
6. c) Coacute; 3 mặt phẳng gồm (a,b),(A,a),(B,b).

Bagrave;i 2.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt lagrave; trung điểm AB vagrave; CD.

Mặt phẳng (alpha;) qua MN cắt AD vagrave; BC lần lượt tại P, Q.

Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh I, B, D thẳng hagrave;ng.

Ta coacute; MP cắt NQ tại I

rArr;{█( Iisin;MP@ Iisin;NQ)┤rArr;{█( Iisin;(ABD)@ Iisin;(CBD) )┤.

rArr;Iisin;(ABD)cap;(CBD).

rArr;Iisin;BD.

Vậy I, B, D thẳng hagrave;ng.

Bagrave;i 3.

1. a) Cho hai đường thẳng cheacute;o nhau a, b vagrave; điểm M ở ngoagrave;i a vagrave; ngoagrave;i b. Coacute; nhiều nhất bao nhiecirc;u đường thẳng qua M vagrave; cắt cả a vagrave; b?
2. b) Trong khocirc;ng gian, cho 3 đường thẳng a, b, c cheacute;o nhau từng đocirc;i một. Coacute; nhiều nhất bao nhiecirc;u đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

Giải

1. a) Mặt phẳng đi qua M vagrave; chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A. Khi đoacute; đường thẳng duy nhất cần tigrave;m lagrave; đường thẳng qua 3 điểm M, A, B .
2. b) Gọi M lagrave; đường thẳng nằm trecirc;n c, mặt phẳng đi qua M vagrave; chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B , mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A khi đoacute; đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a, b, c. Coacute; vocirc; số điểm M như thế necirc;n coacute; vocirc; số đường thẳng cần tigrave;m.

Bagrave;i 4.

1. a) Cho ba đường thẳng đocirc;i một cheacute;o nhau. Coacute; thể coacute; bao nhiecirc;u đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đatilde; cho.
2. b) Cho hai đường thẳng cheacute;o nhau a vagrave; b. Lấy điểm A, B thuộc a vagrave; C, D thuộc b. Khi đoacute; hai đường thẳng AD vagrave; BC coacute; vị triacute; như thế nagrave;o với nhau?

Giải

1. a) Gọi M lagrave; đường thẳng nằm trecirc;n c, mặt phẳng đi qua M vagrave; chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại 4 khi đoacute; đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a,b,c . Coacute; vocirc; số điểm M như thế necirc;n coacute; vocirc; số đường thẳng cắt 3 đường thẳng đatilde; cho.
2. b) Do a,b cheacute;o nhau necirc;n A,B,C,D lagrave; 4 đỉnh của 1 tứ diện do đoacute; AD vagrave; BC cheacute;o nhau.

Bagrave;i 5. Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD coacute; đaacute;y lagrave; một higrave;nh bigrave;nh hagrave;nh tacirc;m O . Gọi M vagrave; N lần lượt lagrave; trung điểm của SA vagrave; SC . Gọi (P) lagrave; mặt phẳng qua 3 điểm M,N,B .

1. a) Tigrave;m caacute;c giao tuyến của (P) vagrave; (SAB) ;(P) vagrave; (SBC).
2. b) Tigrave;m giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) vagrave; giao điểm K của

đường thẳng SD với mặt phẳng (P) .

1. c) Xaacute;c định caacute;c giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) vagrave;

mặt phẳng (SCD) .

1. d) Xaacute;c định caacute;c giao điểm E,F của caacute;c đường thẳng DA, DC với (P) .

Chứng minh rằng E,B,F thẳng hagrave;ng.

1. a) Ta coacute;:

Misin;SA,SAsub;(SAB)rArr;Misin;(SAB)(1)

Lại coacute; Misin;(BMN)(2)

Từ (1) vagrave; (2) suy raMisin;(SAB)cap;(BMN)(3)

Ta coacute; : Bisin;(SAB)cap;(BMN)(4)

Từ (3) vagrave; (4) suy ra BM=(SAB)cap;(BMN) .

Tương tự ta cũng suy ra BM=(SAB)cap;(BMN) .

1. b) Trong mặt phẳng (SAC), gọi I lagrave; giao điểm của SOvới MN

Ta coacute; :

Iisin;MN,MNsub;(BMN)rArr;Iisin;(BMN)rArr;I lagrave; giao điểm của SOvới (BMN).

Trong mặt phẳng (SBD), gọi K lagrave; giao điểm của BIvới SD. Ta coacute; :

Kisin;BI,BIsub;(BMN)rArr;Kisin;(BMN) . Suy ra K chiacute;nh lagrave; giao điểm của SD với (BMN) .

1. c) Ta coacute; : {█( Kisin;(BMN)@ Kisin;(SAD) )┤rArr;Kisin;(BMN)cap;(SAD) .

Ta lại coacute; : Misin;(BMN)cap;(SDC) .

1. d) Trong mặt phẳng (SAD), gọi {E}=MKcap;AD. Ta coacute;: MKsub;(BMN) necirc;n Eisin;(BMN) .

Vậy E chiacute;nh lagrave; giao điểm của AD với (BMN) .

Trong mặt phẳng (SDC) gọi {F}=NKcap;CD .

Ta coacute; NKsub;(BMN)necirc;n Fisin;(BMN) ,

{█( Eisin;(BMN)@ Eisin;(ABCD) )┤rArr;Eisin;(BMN)cap;(ABCD), {█( Bisin;(BMN)@ Bisin;(ABCD) )┤rArr;Bisin;(BMN)cap;(ABCD).

Suy ra ba điểm B,E,F cugrave;ng nằm trecirc;n giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) vagrave; (ABCD)

Do đoacute; ba điểm B,E,F thẳng hagrave;ng.

Bagrave;i 6. Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD,E lagrave; trung điểm của SB,F thuộc SC

sao cho 3(SF) ⃗=2(SC) ⃗, G lagrave; một điểm thuộc miền trong tam giaacute;c SAD .

Xaacute;c định giao tuyến của mặt phẳng (EFG) với caacute;c mặt của higrave;nh choacute;p

lagrave; (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) vagrave; (ABCD) (nếu coacute;).

Trong mặt phẳng (SBC), gọi J lagrave; giao điểm của EF với BC.

Trong mặt phẳng (SAD), gọi I lagrave; giao điểm của SG với AD.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi N lagrave; giao điểm của IJ với CD.

Trong mặt phẳng (SIJ), gọi K lagrave; giaacute;o điểm của JG với SN .

Trong mặt phẳng (SCD), coacute; hai khả năng xảy ra như sau:

Trường hợp 1: FK cắt đoạn CD tại P.

Trong mặt phẳng (ABCD) , gọi Q lagrave; giao điểm của JP với AD.

Trong mặt phẳng (SAD) , gọi R lagrave; giao điểm của QG với SA .

Ta coacute; {█( (EFG)cap;(ABCD)=PQ;(EFG)cap;(SAD)=QR@ (EFG)cap;(SAB)=RE;(EFG)cap;(SBC)=EF@ (EFG)cap;(SCD)=FP)┤

Trường hợp nagrave;y , ngũ giaacute;c REFPQ lagrave; thiết diện của higrave;nh choacute;p S.ABCD

cắt bởi (EFG).

Trường hợp 2: FK cắt SD tại H (FK khocirc;ng cắt đoạn CD ).

...