CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HOcirc;M NAY!

KHỞI ĐỘNG

Cho lim┬(xrarr;x_0 ) f(x)=L vagrave; lim┬(xrarr;x_0 ) g(x)=M (Mne;0) hatilde;y tiacute;nh lim┬(xrarr;x_0 ) [f(x)+g(x)]; lim┬(xrarr;x_0 ) [f(x)sdot;g(x)]; lim┬(xrarr;x_0 ) (f(x))/(g(x))=L/M.

CHƯƠNG V: GIỚI HẠN.

HAgrave;M SỐ LIEcirc;N TỤC

BAgrave;I 16: GIỚI HẠN

CỦA HAgrave;M SỐ

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Giới hạn hữu hạn của hagrave;m số tại một điểm

Giả sử (a;b) lagrave; một khoảng chứa điểm x_0 vagrave; hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (a;b), coacute; thể trừ điểm x_0. Ta noacute;i hagrave;m số f(x) coacute; giới hạn lagrave; số L khi x dần tới x_0 nếu với datilde;y số (x_n ) bất kigrave;, x_nisin;(a;b),x_nne;x_0 vagrave; x_nrarr;x_0, ta coacute; f(x_n )rarr;L, kiacute; hiệu lim_(xrarr;x_0 ) f(x)=L hay f(x)rarr;L khi xrarr;x_0.

• Quy tắc tiacute;nh giới hạn

- Nếu lim┬(xrarr;x_0 ) f(x)=L vagrave;lim┬(xrarr;x_0 ) g(x)=M thigrave;

lim┬(xrarr;x_0 ) [f(x)+g(x)]=L+M; lim┬(xrarr;x_0 ) [f(x)-g(x)]=L-M

lim┬(xrarr;x_0 ) [f(x)sdot;g(x)]=Lsdot;M; lim┬(xrarr;x_0 ) (f(x))/(g(x))=L/M," nếu " Mne;0

- Nếu f(x)ge;0 với mọi xisin;(a;b)∖{x_0 } vagrave; lim_(xrarr;x_0 ) f(x)=L thigrave; Lge;0 vagrave; lim_(xrarr;x_0 ) radic;(f(x))=radic;L.

"Viacute; dụ:" (lim)┬(xrarr;2) (x^2-x)/(x+1)=2/3

• Giới hạn một becirc;n

-Cho hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (x_0;b). Ta noacute;i số L lagrave; giới hạn becirc;n phải của f(x) khi xrarr;x_0 nếu với datilde;y số (x_n ) bất kigrave; thoả matilde;n x_0<x_n<b vagrave; x_nrarr;x_0, ta coacute; f(x_n )rarr;L, kiacute; hiệu lim┬(xrarr;x_0^+ ) f(x)=L.

-Cho hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (a;x_0 ). Ta noacute;i số L lagrave; giới hạn becirc;n trải của f(x) khi xrarr;x_0 nếu với datilde;y số (x_n ) bất kigrave; thoả matilde;n a <x_n<x_0 vagrave; x_nrarr;x_0, ta coacute; f(x_n )rarr;L, kiacute; hiệu lim┬(xrarr;x_0^- ) f(x)=L.

2. Giới hạn hữu hạn của hagrave;m số tại vocirc; cực

-Cho hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (a;+infin;). Ta noacute;i hagrave;m số f(x) coacute; giới hạn lagrave; số L khi xrarr;+infin; nếu với datilde;y số (x_n ) bất kigrave;, x_n> a vagrave; x_nrarr;+infin;, ta coacute; f(x_n )rarr;L, kiacute; hiệulim┬(xrarr;+infin;) f(x)=L hay f(x)rarr;L khi xrarr;+infin;.

-Cho hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (-infin;;b). Ta noacute;i hagrave;m số f(x) coacute; giới hạn lagrave; số L khi xrarr;-infin; nếu với datilde;y số (x_n ) bất kigrave;, x_n<b vagrave; x_nrarr;-infin;, ta coacute; f(x_n )rarr;L, kiacute; hiệulim┬(xrarr;-infin;) f(x)=L hay f(x)rarr;L khi xrarr;-infin;.

-Caacute;c quy tắc tiacute;nh giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đuacute;ng cho giới hạn hữu hạn tại vocirc; cực.

-Với c lagrave; hằng số, ta coacute;: lim┬(xrarr;+infin;) c=c,lim┬(xrarr;-infin;) c=c.

-Với k lagrave; một số nguyecirc;n dương, ta coacute;:

lim┬(xrarr;+infin;) 1/x^k =0; lim┬(xrarr;-infin;) 1/x^k =0

3. Giới hạn vocirc; cực của hagrave;m số tại một điểm
4. a) Giới hạn vocirc; cực

-Giả sử khoảng (a;b) chứa x_0 vagrave; hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n (a;b)∖{x_0 }. Ta noacute;i hagrave;m số f(x) coacute; giới hạn +infin; khi xrarr;x_0 nếu với datilde;y số (x_n ) bất kigrave;, x_nisin;(a;b)∖{x_0 },x_nrarr;x_0, ta coacute; f(x_n )rarr;+infin;, ki hiệu lim┬(xrarr;x_o ) f(x)=+infin;.

-Ta noacute;i hagrave;m số f(x) coacute; giới hạn -infin; khi xrarr;x_0, kiacute; hiệu lim┬(xrarr;x_o ) f(x)=-infin;, nếu lim┬(xrarr;x_o ) [-f(x)]=+infin;.

-Cho hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoagrave;ng (x_0;b). Ta noacute;i hagrave;m số f(x) coacute; giới hạn +infin; khi xrarr;x_0 về becirc;n phải nếu với datilde;y số (x_n ) bất kigrave; thoả matilde;n x_0<x_n<b,x_nrarr;x_0, ta coacute; f(x_n )rarr;+infin;, ki hiệu lim┬(xrarr;x_0^+ )⁡〖f(x)〗 =+infin;.

-Cho hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (a;x_0 ). Ta noacute;i hagrave;m số f(x) coacute; giới hạn +infin; khi xrarr;x_0 về becirc;n trải nếu với datilde;y số (x_n ) bất kigrave; thoả matilde;n a<x_n<x_0,x_nrarr;x_0, ta coacute; f(x_n )rarr;+infin;, ki hiệu lim┬(xrarr;x_0^- ) f(x)=+infin;.

-Caacute;c giới hạn một becirc;n lim┬(xrarr;x_0^+ ) f(x)=-infin; vagrave; lim┬(xrarr;x_0^- ) f(x)=-infin; được định nghĩa tương tự.

1. b) Một số quy tắc tiacute;nh giới hạn vocirc; cực

• Quy tắc tigrave;m giới hạn của tiacute;ch f(x)g(x).

Giả sử lim┬(xrarr;x_o ) f(x)=Lne;0 vagrave;lim┬(xrarr;x_o ) g(x)=+infin; (hoặc -infin; ).

Khi đoacute;lim┬(xrarr;x_o ) f(x)g(x) tiacute;nh theo quy tắc

• Quy tắc tigrave;m giới hạn của thương

(f(x))/(g(x))

Caacute;c quy tắc trecirc;n vẫn đuacute;ng cho trường hợp: xrarr;x_o^+;xrarr;x_o^-.

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn datilde;y số vagrave; những quy tắc cơ bản

Phương phaacute;p giải:

-Theo định nghĩa thigrave; giới hạn hagrave;m số f(x) trecirc;n cơ sở giới hạn caacute;c datilde;y f(x_n ). Nếu coacute; 2 datilde;y x_n vagrave; x_n^prime; cugrave;ng tiến đến x_0 magrave; lim⁡f (x_n )ne;〖lim⁡f〗^prime; (x_n^prime; ) thigrave; khocirc;ng tồn tại (lim)┬(xrarr;x_0 ) f(x).

-Với mọi số nguyecirc;n dương k, ta coacute;:

(lim)┬(xrarr;+infin;) x^k=+infin;;(lim)┬(xrarr;-infin;) x^2k=+infin;,(lim)┬(xrarr;-infin;) x^(2k+1)=-infin;,(lim)┬(xrarr;plusmn;infin;) 1/x^k =0

-Xaacute;c định dấu +infin; hoặc -infin; dựa trecirc;n dấu của tiacute;ch số, thương số, xrarr;x_0^+, xrarr;x_0^-,xrarr;plusmn;infin;

Chuacute; yacute;: Nếu hagrave;m số f(x) lagrave; một đa thức, lagrave; một phacirc;n thức đại số hoặc một hagrave;m số lượng giaacute;c coacute; tập xaacute;c định lagrave; D thigrave; với mỗi x_0isin;D ta coacute; (lim)┬(xrarr;x_0 ) f(x)=f(x_0 ).

Bagrave;i 1. Tiacute;nh giới hạn của caacute;c hagrave;m số: a) f(x)=radic;(2x+10) khi xrarr;-3

Giải:

Tập xaacute;c định của hagrave;m số lagrave; ├ [-5;+infin;┤)

Chọn datilde;y số (x_n ) với x_nisin;├ [-5;+infin;┤) sao cho lim⁡〖x_n 〗=-3

Theo định nghĩa (lim)┬(xrarr;-3) radic;(2x+10)=(lim)┬(nrarr;infin;) radic;(2x_n+10)

Theo định liacute; về giới hạn của datilde;y số, ta coacute;

(lim)┬(nrarr;infin;) radic;(2x_n+10)=radic;((lim)┬(nrarr;infin;) (2x_n+10) )=radic;(2.(lim)┬(nrarr;infin;) x_n+10)=radic;(2.(-3)+10)

=radic;4=2.

Vậy (lim)┬(xrarr;-3) radic;(2x+10)=2

Tập xaacute;c định của hagrave;m số lagrave; R necirc;n chọn datilde;y số (x_n ) sao cho (lim)┬(nrarr;infin;) x_n=3

Ta coacute;

(lim)┬(xrarr;3) f(x)=(lim)┬(xrarr;3) (2x+3)/(x^2+6)=(lim)┬(nrarr;infin;) (2x_n+3)/(〖x_n〗^2+6)=((lim)┬(nrarr;infin;) (2x_n+3))/((lim)┬(nrarr;infin;) (〖x_n〗^2+6) )

=(2.(lim)┬(nrarr;infin;) x_n+3)/((lim)┬(nrarr;infin;) x_n^2+6)=(2.3+3)/(3^2+6)=3/5

"Vậy" (lim)┬(xrarr;3) (2x+3)/(x^2+6)=3/5.

"Bagrave;i 2. Tigrave;m caacute;c giới hạn sau:"

...