THAcirc;N MẾN CHAgrave;O CAacute;C EM HỌC SINH ĐẾN VỚI BAgrave;I HỌC MỚI

KHỞI ĐỘNG

Cacirc;u hỏi:

Thế nagrave;o lagrave; hagrave;m số liecirc;n tục trecirc;n khoảng (a;b), hagrave;m số liecirc;n tục trecirc;n một đoạn [a;b].

BAgrave;I 17: HAgrave;M SỐ LIEcirc;N TỤC

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

Thế nagrave;o lagrave; hagrave;m số liecirc;n tục tại một điểm?

Cho hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (a;b) chứa điểm x_0. Hagrave;m số f(x) được gọi lagrave; liecirc;n tục tại điểm x_0 nếu lim┬(xrarr;x_o )⁡〖f(x)〗=f(x_0 ).

Viacute; dụ: hagrave;m số f(x)=(x-1)/(x-3) liecirc;n tục tại điểm x_o=2.

Chuacute; yacute;:

Hagrave;m số f(x) liecirc;n tục tại x_0 khi vagrave; chỉ khi

lim┬(xrarr;x_o^+ )⁡〖f(x)〗=lim┬(xrarr;x_o^- )⁡〖f(x)〗=f(x_0 ).

Khi nagrave;o hagrave;m số liecirc;n tục trecirc;n một khoảng?

- Hagrave;m số y=f(x) được gọi lagrave; liecirc;n tục trecirc;n khoảng (a;b) nếu noacute; liecirc;n tục tại mọi điểm thuộc khoảng nagrave;y.

- Hagrave;m số y=f(x) được gọi lagrave; liecirc;n tục trecirc;n đoạn [a;b] nếu noacute; liecirc;n tục trecirc;n khoảng (a;b) vagrave;

lim┬(xrarr;a^+ ) f(x)=f(a),lim┬(xrarr;b^- ) f(x)=f(b).

Viacute; dụ: Xaacute;c định caacute;c hagrave;m số sau liecirc;n tục trecirc;n đoạn nagrave;o?

Y = 2x + 3 ; y = (x+1)/(x-2)

Hagrave;m số y=2x+3 liecirc;n tục trecirc;n đoạn [3; 4].

Hagrave;m số y=(x+1)/(x-2) khocirc;ng liecirc;n tục trecirc;n khoảng (1; 3) do bị giaacute;n đoạn tại x = 2.

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xeacute;t tiacute;nh liecirc;n tục của hagrave;m số tại một điểm

Phương phaacute;p giải:

Để xeacute;t sự liecirc;n tục của hagrave;m số y=f(x) tại điểm tại x_0 ta thực hiện caacute;c bước :

• Bước 1 : Tiacute;nh f(x_0 )
• Bước 2 : Tiacute;nh lim┬(xrarr;x_0 ) f(x) (trong nhiều trường hợp để tiacute;nh lim┬(xrarr;x_0 ) f(x) ta cần tiacute;nh lim┬(xrarr;x_0^- ) f(x) vagrave; lim┬(xrarr;x_0^+ ) f(x)
• Bước 3 : So saacute;nh lim┬(xrarr;x_0 ) f(x) vagrave; f(x_0 ) rồi ruacute;t ra kết luận.

Chuacute; yacute;: hagrave;m số khocirc;ng liecirc;n tục tại x_0 thigrave; được gọi lagrave; giaacute;n đoạn tại x_0.

Bagrave;i 1. Xeacute;t tiacute;nh liecirc;n tục của hagrave;m số tại điểm được chỉ ra :

1. a) f(x)={█( (x+3)/(x-1) " " khi xne;1 @ -1" " khi x=1)┤ (tại x=1)
2. b) f(x)={█( (radic;(x+3)-2)/(x-1) " " khi xne;1 @ 1/4 " " khi x=1" " )┤ (tại x=1)
3. a) Ta coacute;: f(-1)=(-1+3)/(-1-1)=-1

lim┬(xrarr;-1) f(x)=lim┬(xrarr;-1) (x+3)/(x-1)=-1=f(-1)rArr; hagrave;m số liecirc;n tục tại x=-1

4. b) Ta coacute; : f(1)=1/4.

lim┬(xrarr;1) f(x)=lim┬(xrarr;1) ((radic;(x+3)-2))/((x-1) )=lim┬(xrarr;1) (radic;(x+3)-2)(radic;(x+3)+2)/(x-1)(radic;(x+3)+2)

=lim┬(xrarr;1) 1/(radic;(x+3)+2)=f(1)

Vậy hagrave;m số liecirc;n tục tại x=1.

Bagrave;i 2. Xeacute;t tiacute;nh liecirc;n tục của hagrave;m số tại điểm được chỉ ra:

1. a) f(x)={█( (2-7x+5x^2-x^3)/(x^2-3x+2) khi xne;2@ 1" " khi x=2)┤ (tại x=2)
2. b) f(x)={█( (x-5)/(radic;(2x-1)-3) " " khi x>5@ (x-5)^2+3" " khi xle;5 )┤ (tại x=5)
3. a) Ta coacute;: f(2)=1

Magrave; lim┬(xrarr;2) f(x)=lim┬(xrarr;2) (2-7x+5x^2-x^3)/(x^2-3x+2)=lim┬(xrarr;2) (x-2)(-x^2+3x-1)/(x-2)(x-1) =lim┬(xrarr;2) (-x^2+3x-1)/((x-1) )=1=f(2)

Vậy hagrave;m số liecirc;n tục tại x=2

3. b) Ta coacute;: f(5)=(5-5)^2+3=3.

Lại coacute; lim┬(xrarr;5^- ) f(x)=lim┬(xrarr;5^- ) [(x-5)^2+3]=3

Vagrave; lim┬(xrarr;5^+ ) f(x)=lim┬(xrarr;5^+ ) (x-5)/(radic;(2x-1)-3)=lim┬(xrarr;5^+ ) (x-5)(radic;(2x-1)+3)/(radic;(2x-1)-3)(radic;(2x-1)+3) =lim┬(xrarr;5^+ ) (radic;(2x-1)+3)/2=3

Từ đoacute; f(5)=lim┬(xrarr;5) f(x)rArr; hagrave;m số liecirc;n tục tại x=5.

Bagrave;i 3. Xeacute;t tiacute;nh liecirc;n tục của hagrave;m số tại điểm được chỉ ra:

1. a) f(x)={█( 1-cos⁡x " " khi xle;0@ radic;(x+1) " " khi x>0)┤ (tại x=0)
2. b) f(x)={█( (x-1)/(radic;(2-x)-1) " " khi x<1@ -2x" " khi xge;1)┤ (tại x=1)
3. a) Ta coacute;: f(0)=1-cos⁡0=0.

Lại coacute; {█( lim┬(xrarr;0^+ ) f(x)=lim┬(xrarr;0^+ ) radic;(x+1)=1@ lim┬(xrarr;0^- ) f(x)=lim┬(xrarr;0^- ) (1-cos⁡x ) )┤

necirc;n khocirc;ng tồn tại giới hạn hagrave;m số tại x=0

Vậy hagrave;m số khocirc;ng liecirc;n tục tại x=0.

2. b) Ta coacute;: f(1)=-2.1=-2.

Lại coacute; {█( lim┬(xrarr;1^+ ) f(x)=lim┬(xrarr;1^+ ) (-2x)=-2@ lim┬(xrarr;1^- ) f(x)=lim┬(xrarr;1^- ) (x-1)/(radic;(2-x)-1)=lim┬(xrarr;1^- ) (x-1)(radic;(2-x)+1)/(radic;(2-x)-1)(radic;(2-x)+1) =lim┬(xrarr;1^- ) (radic;(2-x)+1)/(-1)=-2)┤

Rotilde; ragrave;ng lim┬(xrarr;1^+ ) f(x)=lim┬(xrarr;1^- ) f(x)=f(1) necirc;n hagrave;m số liecirc;n tục tại x=1.

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Xeacute;t tiacute;nh liecirc;n tục của hagrave;m số trecirc;n khoảng, đoạn

Phương phaacute;p giải:

• Để chứng minh hagrave;m số y=f(x) liecirc;n tục trecirc;n một khoảng, đoạn ta dugrave;ng caacute;c định nghĩa về hagrave;m số liecirc;n tục trecirc;n khoảng, đoạn vagrave; caacute;c nhận xeacute;t để suy ra kết luận.
• Khi noacute;i xeacute;t tiacute;nh liecirc;n tục của hagrave;m số (magrave; khocirc;ng noacute;i rotilde; gigrave; hơn) thigrave; ta hiểu phải xeacute;t tiacute;nh liecirc;n tục trecirc;n tập xaacute;c định của noacute;.
• Tigrave;m caacute;c điểm giaacute;n đoạn của hagrave;m số tức lagrave; xeacute;t xem trecirc;n tập xaacute;c định của noacute; hagrave;m số khocirc;ng liecirc;n tục tại caacute;c điểm nagrave;o.

...