CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MOcirc;N TOAacute;N!

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ

VUOcirc;NG GOacute;C TRONG KHOcirc;NG GIAN

BAgrave;I 27: THỂ TIacute;CH

HỆ THỐNG
KIẾN THỨC

1. Thể tiacute;ch khối choacute;p

Phần khocirc;ng gian được giới hạn bởi higrave;nh choacute;p, higrave;nh choacute;p cụt đều, higrave;nh lăng trụ, higrave;nh hộp tương ứng được gọi lagrave; khocirc;i choacute;p, khối choacute;p cụt đều, khới lăng trụ, khối hộp. Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của caacute;c khối higrave;nh đoacute; lần lượt lagrave; đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của higrave;nh choacute;p, higrave;nh choacute;p cụt đều, higrave;nh lăng trụ, higrave;nh hộp tương ứng.

Thể tiacute;ch của khối choacute;p coacute; diện tiacute;ch đaacute;y S vagrave; chiều cao ℎ lagrave;

V=1/3sdot;ℎsdot;S

Thể tiacute;ch của khối choacute;p cụt đều coacute; diện tiacute;ch đaacute;y lớn S, diện tiacute;ch đaacute;y beacute; S^prime; vagrave; chiều cao ℎ lagrave;

V=1/3sdot;ℎsdot;(S+S^prime;+radic;Ssdot;S^prime;)

Thể tiacute;ch của khối lăng trụ coacute; diện tiacute;ch đaacute;y S vagrave; chiều cao ℎ lagrave; V=ℎsdot;S

LUYỆN
TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Thể tiacute;ch khối choacute;p

Phương phaacute;p giải:

Thể tiacute;ch của khối choacute;p coacute; diện tiacute;ch đaacute;y S vagrave; chiều cao ℎ lagrave; V=1/3sdot;ℎsdot;S

Thể tiacute;ch của khối choacute;p cụt đều coacute; diện tiacute;ch đaacute;y lớn S, diện tiacute;ch đaacute;y beacute; S^prime; vagrave; chiều cao ℎ lagrave; V=1/3sdot;ℎsdot;(S+S^prime;+radic;Ssdot;S^prime;)

Bagrave;i 1. a) Cho higrave;nh choacute;p S.ABC coacute; tam giaacute;c SBC lagrave; tam giaacute;c vuocirc;ng cacirc;n tại S, SB=2a vagrave; khoảng caacute;ch từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a. Tiacute;nh theo a thể tiacute;ch V của khối choacute;p S.ABC.

8. b) Cho khối choacute;p S.ABC coacute; SA vuocirc;ng goacute;c với đaacute;y, SA=4,AB=6,BC=10 vagrave; CA=8. Tiacute;nh thể tiacute;ch V của khối choacute;p S.ABC.

Giải:

1. a) Ta chọn (SBC) lagrave;m mặt đaacute;y

rArr; chiều cao khối choacute;p lagrave; d[A,(SBC)]=3a

Tam giaacute;c SBC vuocirc;ng cacirc;n tại S necirc;n S_Delta;SBC=1/2SB^2=2a^2

Vậy thể tiacute;ch khối choacute;p V=1/3S_Delta;SBC.d[A,(SBC)]=2a^3.

1. b) Tam giaacute;c ABC, coacute;

AB^2+AC^2=6^2+8^2=10^2=BC^2

rArr; Tam giaacute;c ABC vuocirc;ng tại A

rArr;S_Delta;ABC=1/2AB.AC=24.

Bagrave;i 2. Cho higrave;nh choacute;p đều S.ABC coacute; cạnh đaacute;y bằng a, cạnh becirc;n bằng aradic;21/6. Tiacute;nh theo a thể tiacute;ch V của khối choacute;p đatilde; cho.

Giải:

Gọi I lagrave; tacirc;m đường trograve;n ngoại tiếp tam giaacute;c ABC

Vigrave; S.ABC lagrave; khối choacute;p đều necirc;n suy ra SIperp;(ABC)

Gọi M lagrave; trung điểm của BCrArr;AI=2/3AM=aradic;3/3

Tam giaacute;c SAI vuocirc;ng tại I, coacute;

SI=radic;SA^2minus;AI^2radic;(aradic;21/6)^2minus;(aradic;3/3)^2=a/2

Diện tiacute;ch tam giaacute;c ABC lagrave; S_Delta;ABC=a^2radic;3/4

Vậy thể tiacute;ch khối choacute;p V_S.ABC=1/3S_Delta;ABC.SI=a^3radic;3/24.

Bagrave;i 3. Cho higrave;nh choacute;p đều S.ABCD coacute; cạnh đaacute;y bằng a, cạnh becirc;n hợp với mặt đaacute;y một goacute;c 60^0. Tiacute;nh theo a thể tiacute;ch V của khối choacute;p S.ABCD.

Giải:

Gọi O=ACcap;BD

Do S.ABCD lagrave; higrave;nh choacute;p đều necirc;n SOperp;(ABCD)

Suy ra OB lagrave; higrave;nh chiếu của SB trecirc;n (ABCD)

Khi đoacute; 60^0=(SB,(ABCD)) ̂=(SB,OB) ̂=(SBO) ̂

Tam giaacute;c vuocirc;ng SOB, coacute;

SO=OB.tan(SBO) ̂=aradic;6/2

Diện tiacute;ch higrave;nh vuocirc;ng ABC lagrave; S_ABCD=AB^2=a^2

Vậy V_S.ABCD=1/3S_ABCD.SO=a^3radic;6/6.

Bagrave;i 4. Cho higrave;nh choacute;p S.ABC coacute; đaacute;y ABC lagrave; tam giaacute;c vuocirc;ng tại B; đỉnh S caacute;ch đều caacute;c điểm A, B, C. Biết AC=2a, BC=a; goacute;c giữa đường thẳng SB vagrave; mặt đaacute;y (ABC) bằng 60^0. Tiacute;nh theo a thể tiacute;ch V của khối choacute;p S.ABC.

Giải:

Gọi H lagrave; trung điểm AC.

Do tam giaacute;c ABC vuocirc;ng tại B necirc;n H lagrave; tacirc;m đường trograve;n ngoại tiếp tam giaacute;c ABC.

Đỉnh S caacute;ch đều caacute;c điểm A, B, C necirc;n higrave;nh chiếu của S trecirc;n mặt đaacute;y (ABC) trugrave;ng với tacirc;m đường trograve;n ngoại tiếp tam giaacute;c ABC

suy ra SHperp;(ABC)

Do đoacute; 60^0=(SB,(ABC)) ̂=(SB,BH) ̂=(SBH) ̂.

Tam giaacute;c vuocirc;ng SHB, coacute;

SH=BH.tan(SBH) ̂=AC/2.tan(SBH) ̂=aradic;3.

Tam giaacute;c vuocirc;ng ABC, coacute;

AB=radic;AC^2minus;BC^2=aradic;3.

Diện tiacute;ch tam giaacute;c vuocirc;ng S_Delta;ABC=1/2BA.BC=a^2radic;3/2

Vậy V_S.ABC=1/3S_Delta;ABC.SH=a^3/2.

Bagrave;i 5. Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD coacute; đaacute;y ABCD lagrave; higrave;nh thoi cạnh a. Tam giaacute;c ABC đều, higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c H của đỉnh S trecirc;n mặt phẳng (ABCD) trugrave;ng với trọng tacirc;m của tam giaacute;c ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) goacute;c 30^0. Tiacute;nh theo a thể tiacute;ch V của khối choacute;p S.ABCD.

Giải:

Gọi O=ACcap;BD; M lagrave; trung điểm AB.

Suy ra H=BOcap;CM.

Theo giả thiết SHperp;(ABCD) necirc;n higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c của SD trecirc;n mặt đaacute;y (ABCD) lagrave; HD.

Do đoacute; 30^0=(SD,(ABCD)) ̂=(SD,HD) ̂=(SDH) ̂.

Tam giaacute;c ABC vagrave; ADC đều cạnh a, suy ra

{█(OD=aradic;3/2@OH=1/3BO=aradic;3/6)┤rArr;HD=OD+OH=2aradic;3/3

Tam giaacute;c vuocirc;ng SHD, coacute; SH=HD.tan(SDH) ̂=2a/3

Diện tiacute;ch higrave;nh thoi S_ABCD=2S_Delta;ABC=2.a^2radic;3/4=a^2radic;3/2

Vậy V_S.ABCD=1/3S_ABCD.SH=a^3radic;3/9.

Bagrave;i 6. Cho higrave;nh choacute;p tứ giaacute;c đều S.ABCD coacute; đaacute;y ABCD lagrave; higrave;nh vuocirc;ng tacirc;m O, cạnh 2a. Mặt becirc;n tạo với đaacute;y goacute;c 60^0. Gọi K lagrave; higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c của O trecirc;n SD. Tiacute;nh theo a thể tiacute;ch V của khối tứ diện DKAC.

Giải:

Gọi M lagrave; trung điểm CD, suy ra OMperp;CD necirc;n

60^0=((SCD),(ABCD)) ̂=(SM,OM) ̂=(SMO) ̂

Tam giaacute;c vuocirc;ng SOM, coacute; SO=OM.tan(SMO) ̂=aradic;3

Kẻ KHperp;ODrArr;KH∥SO necirc;n KHperp;(ABCD)

Tam giaacute;c vuocirc;ng SOD, ta coacute;

KH/SO=DK/DS=DO^2/DS^2=OD^2/SO^2+OD^2=2/5rArr;KH=2/5SO=2aradic;3/5

Diện tiacute;ch tam giaacute;c S_Delta;ADC=1/2AD.DC=2a^2

Vậy V_DKAC=1/3S_Delta;ADC.KH=4a^3radic;3/15.

Bagrave;i 7. Cho higrave;nh choacute;p S.ABC coacute; (ASB) ̂=(CSB) ̂=60^0, (ASC) ̂=90^0 vagrave; SA=SB=a, SC=3a. Tiacute;nh thể tiacute;ch V của khối choacute;p S.ABC.

...