CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC NGAgrave;Y HOcirc;M NAY!

KHỞI ĐỘNG

Cho hagrave;m số y = f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (a; b) vagrave; điểm x_oisin;(a;b). Hatilde;y necirc;u định nghĩa của đạo hagrave;m tại điểm x_o?

CHƯƠNG IX: ĐẠO HAgrave;M

BAgrave;I 31: ĐỊNH NGHĨA VAgrave; Yacute; NGHĨA CỦA ĐẠO HAgrave;M

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Đạo hagrave;m của hagrave;m số tại một điểm

Cho hagrave;m số y=f(x) xaacute;c định trecirc;n khoảng (a;b) vagrave; điểm x_0isin;(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

lim┬xrarr;x_0 f(x)minus;f(x_0)/xminus;x_0

thigrave; giới hạn đoacute; được gọi lagrave; đạo hagrave;m của hagrave;m số y=f(x) tại điểm x_0, kiacute; hiệu bởi f^prime;(x_0) (hoặc ├ y^prime;(x_0)), tức lagrave;

f^prime;(x_0)=lim┬xrarr;x_0 f(x)minus;f(x_0)/xminus;x_0.

Caacute;c bước: tiacute;nh đạo hagrave;m của hagrave;m số y=f(x) tại điểm x_0isin;(a;b)

1. Tiacute;nh f(x)minus;f(x_0).
2. Lập vagrave; ruacute;t gọn tỉ số f(x)minus;f(x_0)/xminus;x_0 với xisin;(a;b),xne;x_0.
3. Tigrave;m giới hạn lim_xrarr;x_0 f(x)minus;f(x_0)/xminus;x_0.

Hoặc: Đặt ℎ=xminus;x_0, khi đoacute; đạo hagrave;m của hagrave;m số đatilde; cho tại điểm x_0=1 coacute; thể tiacute;nh như sau:

f^prime;(x_0)=lim┬ℎrarr;0 f(x_0+ℎ)minus;f(x_0)/ℎ

2. Đạo hagrave;m của hagrave;m số trecirc;n một khoảng

Hagrave;m số y=f(x) được gọi lagrave; coacute; đạo hagrave;m trecirc;n khoảng (a;b) nếu noacute; coacute; đạo hagrave;m f^prime;(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đoacute;, kiacute; hiệu lagrave; y^prime;=f^prime;(x).

3. Yacute; nghĩa higrave;nh học của đạo hagrave;m

Hệ số goacute;c của đường thẳng đi qua hai điểm (x_1;y_1) vagrave; (x_2;y_2), với x_1ne;x_2, lagrave;

k=y_2minus;y_1/x_2minus;x_1

Hệ số goacute;c của tiếp tuyến của đồ thị hagrave;m số y=f(x) tại điểm P(x_0;f(x_0)) lagrave; đạo hagrave;m f^prime;(x_0).

Nếu hagrave;m số y=f(x) coacute; đạo hagrave;m tại điểm x_0 thigrave; phương trigrave;nh tiếp tuyến của đồ thị hagrave;m số tại điểm P(x_0;y_0) lagrave; yminus;y_0=f^prime;(x_0)(xminus;x_0), trong đoacute; y_0=f(x_0).

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tigrave;m đạo hagrave;m của hagrave;m số tại một điểm, trecirc;n một khoảng bằng định nghĩa

Phương phaacute;p giải: Caacute;c bước: tiacute;nh đạo hagrave;m của hagrave;m số y=f(x) tại điểm x_0isin;(a;b):

1. Tiacute;nh f(x)minus;f(x_0).
2. Lập vagrave; ruacute;t gọn tỉ số f(x)minus;f(x_0)/xminus;x_0 với xisin;(a;b),xne;x_0.
3. Tigrave;m giới hạn lim_xrarr;x_0 f(x)minus;f(x_0)/xminus;x_0.

Hoặc: Đặt ℎ=xminus;x_0, khi đoacute; đạo hagrave;m của hagrave;m số đatilde; cho tại điểm x_0=1 coacute; thể tiacute;nh như sau:

f^prime;(x_0)=lim┬ℎrarr;0 f(x_0+ℎ)minus;f(x_0)/ℎ

Bagrave;i 1. Dugrave;ng định nghĩa tiacute;nh đạo hagrave;m của hagrave;m số

3. a) y=2xminus;1/x+1 tại x_0=3; b) y=radic;2xminus;1 tại x_0=1; c) y=sinx tại x_0=pi;/3.

Giải:

2. a) f^prime;(3)=lim┬xrarr;3f(x)minus;f(3)/xminus;3==lim┬xrarr;32xminus;1/x+1minus;2.3minus;1/3+1/xminus;3=lim┬xrarr;33/4(4+xminus;3)=3/16

Vậy f^prime;(3)=3/16.

1. b) Ta coacute;: Delta;y=f(1+Delta;x)minus;f(1)=radic;2(1+Delta;x)minus;1minus;1=2Delta;x/radic;2Delta;x+1+1

■( Delta;y/Delta;x=2Delta;x/Delta;x(radic;2Delta;x+1+1)=2/radic;2Delta;x+1+1@ )

f^prime;(1)=lim┬hrarr;0 f(1+ℎ)minus;f(1)/ℎ=lim┬hrarr;0 radic;2(1+h)minus;1minus;1/ℎ=lim┬hrarr;0 2/radic;2h+1+1=1.

Vậy f^prime;(1)=1.

1. c) Ta coacute; f(pi;/3+h)minus;f(pi;/3)=sin⁡(pi;/3+h)minus;sin⁡pi;/3=2cos⁡(pi;/3+ℎ/2)sin⁡ℎ/2

f(pi;/3+h)minus;f(pi;/3)/ℎ=cos⁡(pi;/3+ℎ/2)sin⁡ℎ/2/ℎ/2

Do đoacute; f^prime;(pi;/3)=lim┬hrarr;0 f(pi;/3+h)minus;f(pi;/3)/ℎ=lim┬hrarr;0cos(pi;/3+ℎ/2)sinℎ/2/ℎ/2=1/2

Vigrave; lim┬hrarr;0 sin⁡ℎ/2/ℎ/2=1. Vậy f^prime;(pi;/3)=1/2.

Bagrave;i 2. Chứng minh rằng hagrave;m số f(x)={■((xminus;1)^2,xge;0@minus;x^2,x<0)┤ khocirc;ng coacute; đạo hagrave;m tại x=0 nhưng coacute; đạo hagrave;m tại x=2.

Giải:

Ta coacute; lim┬xrarr;0^+ f(x)=lim┬xrarr;0^+ (xminus;1)^2=1;lim┬xrarr;0^minus; f(x)=lim┬xrarr;0^minus; (minus;x^2)=0

rArr;lim┬xrarr;0^+ f(x)ne;lim┬xrarr;0^minus; f(x)

Suy ra hagrave;m số giaacute;n đoạn tại x=0 necirc;n khocirc;ng coacute; đạo hagrave;m tại đoacute;.

lim┬hrarr;0 f(2+h)minus;f(2)/ℎ=lim┬hrarr;0 (1+h)^2minus;1^2/ℎ=lim┬hrarr;0 (2+h)=2

Vậy hagrave;m số y=f(x) coacute; đạo hagrave;m tại x=2 vagrave; f^prime;(2)=2.

Bagrave;i 3. Chứng minh rằng hagrave;m số f(x)=2x^2+|x+1|/xminus;1 liecirc;n tục tại x=minus;1

nhưng khocirc;ng coacute; đạo hagrave;m tại điểm đoacute;.

Giải:

Vigrave; f(x) lagrave; hagrave;m số sơ cấp xaacute;c định tại x=minus;1 necirc;n noacute; liecirc;n tục tại đoacute;.

Ta coacute;:

lim┬xrarr;(minus;1)^+f(x)minus;f(minus;1)/x+1 = lim┬xrarr;(minus;1)^+2x/xminus;1=1;lim┬xrarr;(minus;1)^minus; f(x)minus;f(minus;1)/x+1=lim┬xrarr;(minus;1)^minus; 2=2

Do đoacute; lim┬xrarr;(minus;1)^+f(x)minus;f(minus;1)/x+1 ne;lim┬xrarr;(minus;1)^minus; f(x)minus;f(minus;1)/x+1

necirc;n f(x) khocirc;ng coacute; đạo hagrave;m tại x=minus;1.

Bagrave;i 4. Dugrave;ng định nghĩa tiacute;nh đạo hagrave;m của hagrave;m số y=x/xminus;1

trecirc;n caacute;c khoảng (minus;infin;;1) vagrave; (minus;1;+infin;).

Giải:

lim┬ℎrarr;0f(x+ℎ)minus;f(x)/ℎ =lim┬ℎrarr;0x+h/x+hminus;1minus;x/xminus;1/ℎ

=lim┬ℎrarr;0 minus;1/(x+hminus;1)(xminus;1)=minus;1/(xminus;1)^2

Vậy f^prime;(x)=minus;1/(xminus;1)^2.

Bagrave;i 5. Tigrave;m a, b để hagrave;m số f(x)={█(x^2minus;3x, kℎi xge;2@ax+b, kℎi x<2)┤ coacute; đạo hagrave;m tại x=2.

Giải:

lim┬xrarr;2^+f(x) =lim┬xrarr;2^+ (x^2minus;3x)=minus;2;lim┬xrarr;2^minus; f(x)=lim┬xrarr;2^minus;(ax+b)=2a+b

Để hagrave;m số coacute; đạo hagrave;m tại x=2 thigrave; hagrave;m số liecirc;n tục tại x=2.

Do đoacute; 2a+b=minus;2rArr;b=minus;2aminus;2. Ta lại coacute;:

lim┬xrarr;2^+ f(x)minus;f(2)/xminus;2=lim┬xrarr;2^+ x^2minus;3x+2/xminus;2=lim┬xrarr;2^+ (xminus;1)=1

lim┬xrarr;2^minus; f(x)minus;f(2)/xminus;2=lim┬xrarr;2^minus; ax+bminus;(minus;2)/xminus;2=lim┬xrarr;2^minus; ax+b+2/xminus;2

Do b=minus;2aminus;2 necirc;n

lim┬xrarr;2^minus; ax+b+2/xminus;2=lim┬xrarr;2^minus;axminus;2aminus;2+2/xminus;2=lim┬xrarr;2^minus; axminus;2a/xminus;2=a

Để hagrave;m số coacute; đạo hagrave;m tại x=2 thigrave;

lim┬xrarr;2^+ f(x)minus;f(2)/xminus;2=lim┬xrarr;2^minus; f(x)minus;f(2)/xminus;2hArr;{■(a=1@b=minus;2aminus;2)hArr;{■(a=1@b=minus;4)┤┤

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Yacute; nghĩa của đạo hagrave;m

...