CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM

ĐẾN VỚI BAgrave;I GIẢNG HOcirc;M NAY

CHƯƠNG IX: ĐẠO HAgrave;M

BAgrave;I TẬP CUỐI CHƯƠNG

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

Bagrave;i 1. Sử dụng định nghĩa tiacute;nh đạo hagrave;m của hagrave;m số y=cos⁡x trecirc;n khoảng (minus;infin;;+infin;).

Giải

Ta coacute;: f(x+h)minus;f(x)=cos⁡(x+h)minus;cos⁡x=minus;2sin⁡(x+ℎ/2)sdot;sin⁡ℎ/2

f(x+ℎ)minus;f(x)/ℎ=minus;2sin⁡(x+ℎ/2)sdot;sin⁡ℎ/2/ℎ=minus;sin⁡(x+ℎ/2)sdot;sin⁡ℎ/2/ℎ/2

lim┬ℎrarr;0f(x+ℎ)minus;f(x)/ℎ =lim┬ℎrarr;0 minus;sin⁡(x+Delta;x/2)sdot;sin⁡Delta;x/2/Delta;x/2=minus;sin⁡x

Vậy f^prime;(x)=minus;sinx.

Bagrave;i 2. Chứng minh rằng hagrave;m số f(x)={■(cos⁡x, xge;0@minus;sin⁡x, x<0)□ ┤ khocirc;ng coacute; đạo hagrave;m tại x=0.

Giải

Ta coacute;:  lim┬xrarr;0^+f(x)= lim┬xrarr;0^+ cosx=1; lim┬xrarr;0^minus; f(x)= lim┬xrarr;0^minus;(minus;sinx)=0

rArr;lim┬xrarr;0^+ f(x)ne;lim┬xrarr;0^minus; f(x).

Suy ra hagrave;m số giaacute;n đoạn tại x=0 necirc;n khocirc;ng coacute; đạo hagrave;m tại đoacute;.

Bagrave;i 3. Tigrave;m a,b để hagrave;m số f(x)={■(x^3/3 khi x>1@ax+b khi xle;1)┤ coacute; đạo hagrave;m tại x=1.

Giải

Điều kiện cần

Ta coacute; f(1)=1/3;lim┬xrarr;1^+ f(x)=lim┬xrarr;1^+ (x^3/3)=1/3 vagrave; lim┬xrarr;1^minus; f(x)=lim┬xrarr;1^minus;(ax+b)=a+b

Để hagrave;m số f(x) coacute; đạo hagrave;m tại x=1 thigrave; f(x) liecirc;n tục tại x=1

Do đoacute; lim┬xrarr;1^+ f(x)=lim┬xrarr;1^minus; f(x)=f(1)hArr;a+b=1/3.

Điều kiện đủ: lim┬xrarr;1^+ f(x)minus;f(1)/xminus;1=lim┬xrarr;1^+ x^3/3minus;1/3/xminus;1=lim┬xrarr;1^+ x^2+x+1/3=1

lim┬xrarr;1^minus; f(x)minus;f(1)/xminus;1=lim┬xrarr;1^+ f(x)minus;f(1)/xminus;1=lim┬xrarr;1^minus; ax+bminus;(a+b)/xminus;1=lim┬xrarr;1^+ axminus;a/xminus;1=a

Để hagrave;m số f(x) coacute; đạo hagrave;m tại x=1 thigrave;

lim┬xrarr;1^+ f(x)minus;f(1)/xminus;1=lim┬xrarr;1^minus; f(x)minus;f(1)/xminus;1hArr;a=1rArr;b=minus;2/3

Vậy a=1;b=minus;2/3 thỏa matilde;n yecirc;u cầu của bagrave;i toaacute;n.

Bagrave;i 4. Tigrave;m đạo hagrave;m của caacute;c hagrave;m số sau (giả sử caacute;c biểu thức coacute; nghĩa):

1. a) y=(1minus;radic;x/1+radic;x)^2

rarr;y^prime;=2(1minus;radic;x/1+radic;x)(1minus;radic;x/1+radic;x)^prime;=2(1minus;radic;x/1+radic;x)minus;1/radic;x(1+radic;x)^2=minus;2/radic;x1minus;radic;x/(1+radic;x)^3

1. b) y=(radic;xminus;1/radic;x)^2

rarr;y^prime;=2(radic;xminus;1/radic;x).(1/2radic;x+1/2xradic;x)=1minus;1/x^2

Bagrave;i 5. Tigrave;m đạo hagrave;m của caacute;c hagrave;m số sau (m lagrave; tham số), (giả sử caacute;c biểu thức coacute; nghĩa):

1. a) y=(2m+1)xminus;2(m+1)/mx+m^2minus;1

rarr;y^prime;=[(2m+1)xminus;2(m+1)]^prime;sdot;(mx+m^2minus;1)minus;(mx+m^2minus;1)^prime;sdot;[(2m+1)xminus;2(m+1)]/(mx+m^2minus;1)^2

=(2m+1)sdot;(mx+m^2minus;1)minus;msdot;[(2m+1)xminus;2(m+1)]/(mx+m^2minus;1)^2=2m^3+3m^2minus;1/(mx+m^2minus;1)^2

1. b) y=x^2minus;2(mminus;1)x+m+3/xminus;1

rarr;y^prime;=(x^2minus;2(mminus;1)x+m+3)^prime;(xminus;1)minus;(xminus;1)^prime;(x^2minus;2(mminus;1)x+m+3)/(xminus;1)^2

=(2xminus;2(mminus;1))(xminus;1)minus;(x^2minus;2(mminus;1)x+m+3)/(xminus;1)^2=x^2minus;2x+mminus;5/(xminus;1)^2

Bagrave;i 6. Tiacute;nh đạo hagrave;m của caacute;c hagrave;m số sau (giả sử caacute;c biểu thức coacute; nghĩa):

1. a) y=1/(2xminus;5)^2

rarr;y^prime;=minus;[(2xminus;5)^2]^prime;/(2xminus;5)^4=minus;2(2xminus;5)sdot;(2xminus;5)prime;/(2xminus;5)^4=minus;4/(2xminus;5)^3

1. b) y=4/(x^2minus;2x+5)^2

rarr;y^prime;=minus;4sdot;[(x^2minus;2x+5)^2]prime;/(x^2minus;2x+5)^4

=minus;4sdot;2(x^2minus;2x+5)sdot;(x^2minus;2x+5)prime;/(x^2minus;2x+5)^4=minus;16(xminus;1)/(x^2minus;2x+5)^3=16(1minus;x)/(x^2minus;2x+5)^3

1. c) y=1/xminus;2/(3xminus;x^2)^5

rarr;y^prime;=minus;1/x^2+2sdot;[(3xminus;x^2)^5]^prime;/(3xminus;x^2)^10=minus;1/x^2+25(3xminus;x^2)^4sdot;(3xminus;x^2)^prime;/(3xminus;x^2)^10

=├ 10(3minus;2x)/(3xminus;x^2)^6minus;1/x^2

Bagrave;i 7. Tiacute;nh đạo hagrave;m của hagrave;m số (giả sử caacute;c biểu thức coacute; nghĩa):

1. a) y=3x^2minus;4radic;x+2/xminus;1

rarr;y^prime;=6xminus;4sdot;1/2radic;xminus;2sdot;1/x^2=6xminus;2/radic;xminus;2/x^2

1. b) y=radic;x^2+6x+7

rarr;y^prime;=(x^2+6x+7)prime;/2radic;x^2+6x+7=2x+6/2radic;x^2+6x+7=x+3/radic;x^2+6x+7

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

Bagrave;i 1. Cho hagrave;m số y=sin⁡xminus;xcos⁡x/cos⁡x+xsin⁡x. Chứng minh rằng: y^prime;(sin⁡xminus;xcos⁡x)^2minus;x^2y^2=0.

Giải

y^prime;=(sin⁡xminus;xcos⁡x)^prime;(cos⁡x+xsin⁡x)minus;(sin⁡xminus;xcos⁡x)(cos⁡x+xsin⁡x)^prime;/(cos⁡x+xsin⁡x)^2

Ta coacute;:

+) (sin⁡xminus;xcos⁡x)^prime;=cos⁡xminus;x^prime;cos⁡xminus;xsdot;(cos⁡x)^prime;=xsin⁡x

+) (cos⁡x+xsin⁡x)^prime;=minus;sin⁡x+x^prime;sin⁡x+xsdot;(sin⁡x)^prime;=xcos⁡x

Do đoacute;: y^prime;=xsin⁡xsdot;(cos⁡x+xsin⁡x)minus;(sin⁡xminus;xcos⁡x)xcos⁡x/(cos⁡x+xsin⁡x)^2=x^2/(cos⁡x+xsin⁡x)^2

Ta coacute;: VT=y^prime;(sin⁡xminus;xcos⁡x)^2minus;x^2y^2

=x^2/(cos⁡x+xsin⁡x)^2sdot;(sin⁡xminus;xcos⁡x)^2minus;x^2sdot;(sin⁡xminus;xcos⁡x/cos⁡x+xsin⁡x)^2=0=VP

Vậy ta coacute; điều phải chứng minh.

Bagrave;i 2. Giải phương trigrave;nh f^prime;(x)=0 trong caacute;c trường hợp sau

1. a) f(x)=sin⁡3xminus;3sin⁡x+7; b) f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xminus;1.

Giải

1. a) f(x)=sin⁡3xminus;3sin⁡x+7rArr;f^prime;(x)=3cos⁡3xminus;3cos⁡x.

Khi đoacute;: f^prime;(x)=0hArr;3cos⁡3xminus;3cos⁡x=0hArr;cos⁡3x=cos⁡x

hArr;[■(3x=x+k2pi;@3x=minus;x+k2pi;)┤hArr;[■(x=kpi;@x=kpi;/2)┤ (kisin;ℤ)

1. b) f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xminus;1rArr;f^prime;(x)=minus;2sin⁡2x+2cos⁡x.

f^prime;(x)=0hArr;minus;2sin⁡2x+2cos⁡x=0hArr;cos⁡x(minus;2sin⁡x+1)=0

hArr;[■(cos⁡x=0@sin⁡x=1/2)┤hArr;[■(x=pi;/2+kpi;@x=pi;/6+k2pi;@x=pi;minus;pi;/6+k2pi;)┤hArr;[■(x=pi;/2+kpi;@x=pi;/6+k2pi;@x=5pi;/6+k2pi;)┤□ (kisin;ℤ)

Bagrave;i 3. Cho hagrave;m số f(x)=cos^2x/1+sin^2xsdot; Chứng minh f(pi;/4)minus;3sdot;f^prime;(pi;/4)=3.

...