1. TAM GIÁC CÂN VÀ TÍNH CHẤT

Bài 1: Hãy nêu tên tất cả các tam giác cân trong Hình 4.59. Với mỗi tam giác cân đó, hãy nêu tên cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của chúng.

Giải chi tiết:

Bài 2: Quan sát tam giác ABC cân tại A như Hình 4.60. Lấy D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Chứng minh rằng ΔABD = ΔACD theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

b) Hai góc B và C của tam giác ABC có bằng nhau không?

Giải chi tiết:

a) (c.c.c) vì:

AB = AC, BD = CD, AD là cạnh chung.

b) Do đó .

Bài 3: Cho tam giác MNP có . Vẽ tia phân giác PK của góc MPN (K ∈ MN).

Chứng minh rằng:

a) ;

b) ΔMPK = ΔNPK;

c) Tam giác MNP có cân tại P không?

Giải chi tiết:

a)

b)

(g.c.g)

vì và là cạnh chung.

c) MP = NP nên tam giác MNP cân tại P.

Bài 4: Tính số đo các góc và các cạnh chưa biết của tam giác DEF trong Hình 4.62.

Giải chi tiết:

cân tại F, nên .

Do đó .

Vậy cũng cân tại D, do đó DE = DF = 4cm.

Bài 5: Một tam giác có gì đặc biệt nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau.

b) Tam giác cân có một góc bằng .

Giải chi tiết:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau thì cân tại một đỉnh bất kì, do đó ba cạnh bằng nhau, nên nó là tam giác đều.

b) Tam giác cân có hai góc bằng nhau, mà tổng ba góc bằng , lại có một góc bằng , nên cả ba góc bằng nhau và do đó nó là tam giác đều.

2. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Bài 1: Đánh dấu hai điểm A và B nằm trên hai mép tờ giấy A4, nối A và B để được đoạn thẳng AB.

Gấp mảnh giấy lại như Hình 4.63 sao cho vị trí các điểm A và B trùng nhau.

Mở mảnh giấy ra, kẻ đường thẳng d theo nếp gấp.

a) Gọi O là giao điểm của đường thẳng d và AB. O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

b) Dùng thước đo góc, kiểm tra đường thẳng d có vuông góc với AB không?

Giải chi tiết:

a) O là trung điểm của đoạn AB.

b) Đường thẳng d vuông góc với AB.

Bài 2: Trong Hình 4.64, bạn Lan vẽ đường trung trực của các đoạn thẳng. Theo em, hình nào Lan vẽ đúng?

Giải chi tiết:

Hình a) Lan vẽ đúng.

Hình b) và c) Lan vẽ sai.

Bài 3: Trên mảnh giấy trong Hoạt động 3, lấy điểm M bất kì trên đường thẳng d. Dùng thước thẳng có vạch chia kiểm tra xem AM có bằng BM không (H.4.65).

Giải chi tiết:

AM = BM.

Bài 4: Cho M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Biết AM = 3 cm và (H.4.67). Tính BM và số đo góc MBA.

Giải chi tiết:

Do M nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên MA = MB = 3 cm.

cân tại M nên

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.23: Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Giải chi tiết:

(cạnh huyền – góc nhọn) vì:

là cạnh chung, (tam giác cân tại ).

Bài 4.24: Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Giải chi tiết:

(c.g.c) vì: (do cân tại ), .

Do đó , hay là tia phân giác của góc .

Đồng thời , hay .

Bài 4.25: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Giải chi tiết:

a) (hai cạnh góc vuông) vì: là cạnh chung.

Do đó hay cân tại .

b) Cách 1: Trên tia AM lấy điểm I sao cho AM = MI.

Chứng minh , từ đó suy ra tam giác cân tại .

Cách 2: Kẻ MH vuông góc với AB tại H, kẻ MG vuông góc với AC tại G.

Chứng minh (cạnh huyền – góc nhọn) vì AM chung, .

Suy ra HM = GM.

Chứng minh (cạnh huyền- cạnh góc vuông) vì BM = CM, MH = MG.

Suy ra

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Bài 4.26: Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45o;

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45o là tam giác vuông cân.

Giải chi tiết:

a) Nếu tam giác vuông cân tại góc nhọn thì sẽ có hai góc ở đáy bằng nhau và đều là góc vuông. Do đó tổng ba góc trong tam giác này lớn hơn và đây là điều vô lí.

b) Theo phẩn a), tam giác vuông cân sẽ cân tại góc vuông, do vậy hai góc nhọn bằng nhau và có tổng bằng . Do đó mỗi góc nhọn bằng .

c) Tam giác vuông có một góc bằng thì góc nhọn còn lại phụ với góc này và cũng bằng . Do đó tam giác này là tam giác vuông cân.

Bài 4.27: Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB?

Giải chi tiết:

là đường trung trực của đoạn thẳng .

Bài 4.28: Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD. Chứng minh rằng đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Giải chi tiết:

(cạnh huyền - góc nhọn) vì: .

Do đó . Vậy là trung trực của đoạn thẳng .