LUYỆN TẬP CHUNG

Bài tập 9.31: Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Giải chi tiết:

Từ A kẻ đường thẳng m vuông góc với BC tại trung điểm D của BC

=> AD là đường trung tuyến của BC

Ta có ∆ ADB và ∆ ADC đều vuông tại D

Xét ∆ ADB và ∆ ADC , ta có

AD chung

DB = DC ( D là trung điểm của BC)

∆ ADB và ∆ ADC đều vuông tại D

=> ∆ ADB = ∆ ADC

=> AB= AC

=> ∆ABC cân tại A

Bài tập 9.32: Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳng CM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chứng minh đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng CN.

Giải chi tiết:

Ta có: BN ⊥ CM, CA ⊥ MN. CA và BN cắt nhau tại B

=> B là trực tâm của ∆ MNC

=> MB ⊥ CN

Bài tập 9.33: Có một mảnh tôn hình tròn cần đục lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác định được tâm của mảnh tôn đó?

Giải chi tiết:

- Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài mảnh tôn.

- Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại D. Khi đó D là tâm cần xác định.

Bài tập 9.34: Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A.

Giải chi tiết:

Gọi AM là tia đối của AC. At là đường phân giác của => =

Ta có At // BC => = ( 2 góc so le)

= ( 2 góc đồng vị)

mà =

=> =

=> Tam giác ABC cân tại A

Bài tập 9.35: Kí hiệu S(ABC) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

a) Chứng minh S(GBC) = S(ABC);

b) Chứng minh S(GCA) = S(GAB) = S(ABC).

Giải chi tiết:

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GM= AM

Kẻ BP ⊥ AM ta có S_GMB= BP . GM.

S_ABM = BP . AM.

Ta có S_GMB = BP . GM.

=> S_GMB= BP . AM

=> S_GMB = AM. BP

=> S_GMB= S_ABM (1)

Tương tự, kẻ CN ⊥ AM, ta có S_GMC = CN . GM.

S_ACM = CN . AM.

mà GM= AM

=> S_GMC= S_ACM (2)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:

S_GMB + S_GMC= S_AMC + S_ABM

=> S_GBC = S_ABC

b) BP ⊥ AM => BP ⊥ AG

CN ⊥ AM => CN ⊥ AG

Ta có S_GAB= BP . AG.

S_GAC= CN . AG.

Xét ∆BPM vuông tại P và ∆CNM vuông tại N có:

BM= CM ( M là trung điểm của BC)

= ( 2 góc đối đỉnh)

=> ∆ BPM = ∆ CNM

=> BP = CN

=> S_GAB = S_GAC

Có AG= AM

S_ACB = S_GAB + S_GAC+ S_GCB

=> S_ACB = S_GAB + S_GAC + S_ABC

=> S_ABC = 2 S_GAC

=> S_ABC = S_GAC = S_GAB