BÀI 25. ĐA THỨC MỘT BIẾN

1. ĐƠN THỨC MỘT BIẾN

Bài 1: Cho biết hệ số và bậc của mỗi phương trình sau:

a) ;

b) ;

c) -8;

d) .

Giải chi tiết:

Bài 2: Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2, ta được đơn thức bậc mấy?

Giải chi tiết:

Đơn thức bậc 3.

Bài 3: Tính:

a) ;

b) ;

c) .

Giải chi tiết:

a) ;

b)

c)

2. KHÁI NIỆM ĐA THỨC MỘT BIẾN

Bài 1: Mỗi số thực có phải đa thức không? Tại sao?

Giải chi tiết:

Mỗi số thực là một đơn thức, mà một đơn thức cũng là một đa thức nên mỗi số thực là một đa thức.

Bài 2: Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức B =

Giải chi tiết:

Đa thức B có 4 hạng tử: ; -; và .

3. ĐA THỨC MỘT BIẾN THU GỌN

Bài 1: Thu gọn đa thức P = .

Giải chi tiết:

P =

= =

4. SẮP XẾP ĐA THỨC MỘT BIẾN

Bài 1: Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến:

a) ;

b)

c)

Giải chi tiết:

a)

b)

c)

5. BẬC VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA MỘT ĐA THỨC

Bài 1: Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P. Trong P, bậc của hạng tử 5x² là 2 (số mũ của x²). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.

Giải chi tiết:

Bậc của hạng tử là 4. Bậc của hạng tử là 2.

Bậc của hạng tử 2x là 1. Bậc của hạng tử 1 là 0.

Bài 2: Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P. Trong P, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Giải chi tiết:

Trong , hạng tử có bậc cao nhất.

Hạng tử có hệ số là –3 và bậc là 4.

Bài 3: Xét đa thức P = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử (các đơn thức) của đa thức P. Trong P, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Giải chi tiết:

Trong , hạng tử 1 có bậc là 0.

Bài 4: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) ;

b) .

Giải chi tiết:

a) ; - Hạng tử có bậc cao nhất là , bậc của nó là 4, hệ số là -3; - Hệ số tự do là 1.

b) .

- Hạng tử có bậc cao nhất là , bậc của nó là 4, hệ số là -3,4

- Hệ số tự do là -1.

6. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Bài 1: Xét đa thức G(x) = x2 - 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x = 3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy ta có G(3) = 32 - 4 = 5.

Tính các giá trị G(-2); G(-1); G(0); G(1); G(2).

Giải chi tiết:

• 

• ;

• ;

Bài 2: Xét đa thức G(x) = x2 - 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x = 3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy ta có G(3) = 32 - 4 = 5.

Với giá trị nào của x thì G(x) có giá trị bằng 0.

Giải chi tiết:

Theo hoạt động 1, với giá trị và thì .

Bài 3:

1. Tính giá trị của đa thức F(x) = 2x² - 3x - 2 tại x = -1; x = 0; x = 1; x = 2. Từ đó hãy tìm một nghiệm của đa thức F(x).

2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x² + x.

Giải chi tiết:

1. Tính giá trị: ; _;

; Một nghiệm của đa thức là 2.

2. Tìm nghiệm của đa thức .

² + 0 Nghiệm của đa thức là 0

Bài 4: Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức H(x) = -5x2 + 15x.

b) Tại sao x = 0 là một nghiệm của đa thức H(x)? Kết quả đó nói lên điều gì?

c) Tính giá trị của H(x) khi x = 1; x = 2 và x = 3 để tìm nghiệm khác 0 của H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Giải chi tiết:

a) Trong đa thức , hạng tử có bậc cao nhất. Hạng tử có hệ số là –5 và bậc là 2; - Hệ số tự do trong đa thức là 0.

b) là một nghiệm của đa thức vì tại , đa thức ta được giá trị của bằng 0.

Kết quả đó nói lên: 0 là một nghiệm của đa thức .

c) ;

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 7.5:

a) Tính . Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

b) Tính . Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Giải chi tiết:

a) ; + Hệ số: -2; + Bậc: 5

b) ; + Hệ số: -2; + Bậc: 6

Bài 7.6: Cho hai đa thức: và

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Giải chi tiết:

Bậc cao nhất: 4

Hệ số cao nhất: -7; Hệ số tự do: 9

Bậc cao nhất: 4; Hệ số cao nhất: 8; Hệ số tự do: -7

Bài 7.7: Cho hai đa thức và

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Sử dụng kết quả câu a để tính P(1), P(0), Q(-1) và Q(0).

Giải chi tiết:

a)

b) ; ; ;

Bài 7.8: Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22 m3 nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được 16 m3 nước. Sau khi cả hai máy chạy trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.

Hãy viết đa thức (biến x) biểu thị dung tích của bể (m3), biết rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m3 nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

Giải chi tiết:

a) Gọi V là dung tích bể nước. Ta có: Đa thức (biến ) biểu thị dung tích của bể:

b) - Hệ số cao nhất của đa thức V là: 38; - Hệ số tự do: 9,5

Bài 7.9: Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

- Bậc của F(x) bằng 3.

- Hệ số của x² bằng hệ số của x và bằng 2.

- Hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 và hệ số tự do bằng 3.

Giải chi tiết:

Bài 7.10: Kiểm tra xem:

a) x = có phải là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + không?

b) Trong ba số 1; -1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức Q(x) = x² + x - 2?

Giải chi tiết:

a) Thay vào đa thức ta được:

là nghiệm của đa thức

b) Thay vào của đa thức , ta được:

;

Vậy: Nghiệm của đa thức là:

Bài 7.11: Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng)

a) Hãy tìm đa thức (biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Giải chi tiết:

a) Q(x) = 100 – (37 + x) = - x + 63; Bậc của đa thức: bậc 1.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho nên: Q(x) = 0

- x + 63 = 0 x = 63

Vậy: Giá của cuốn sách là 63 nghìn đồng.