BÀI 32. QUAN HỆ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

Bài 1: Cho điểm A không nằm trên đường thẳng d

a) Hãy vẽ đường vuông góc AH và một đường xiên AM từ A đến d.

b) Em hãy giải thích vì sao AH < AM

Giải chi tiết:

a)

b) Xét tam giác AHM vuông tại H có:

cạnh huyền AM là cạnh lớn nhất của tam giác.

AH < AM

Bài 2: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2 cm, M là một điểm trên cạnh BC như Hình 9.10

a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

b) So sánh hai đoạn thẳng AB và AM.

c) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Giải chi tiết:

a)Đường vuông góc: AB

Đường xiên: AM

b) Theo định lí đường vuông góc và đường xiên, ta thấy AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC nên AB sẽ ngắn nhất. AB < AM.

c) Ta có CB ⊥ AB

CB là khoảng cách từ điểm C đến AB

Vì ABCD là hình vuông

CB = AD = 2cm

Vậy khoảng cách từ C đến AB là 2 cm.

Bài 3:

a) Quan sát hình 9.11, ta thấy khi M thay đổi trên d, M càng xa H thì AM càng lớn lên, tức là nếu HM < HN thì AM < AN. Hãy chứng minh khẳng định này nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác AMN

b) Xét hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của M thì AM lớn nhất? Vì sao?

Giải chi tiết:

a) Xét tam giác AMN có:

M là góc tù

AN là cạnh lớn nhất AM < AN

b) + Khi M thay đổi trên một cạnh mút A của hình vuông ABCD thì độ dài AM không lớn hơn độ dài một cạnh của hình vuông.

+ Khi M thay đổi trên một cạnh mút C thì AM không lớn hơn AC.

M C thì độ dài AM bằng độ dài AC là lớn nhất.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 9.6: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?

Giải chi tiết:

Có: AH ⊥ BC và AH là đoạn ngắn nhất so với đường xiên AB và đường xiên AC

AH chính là khoảng cách từ a đến đoạn thẳng BC

Bài 9.7: Cho hình vuông ABCD. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông

a) Đỉnh nào cách đều hai điểm A và C?

b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AB và AD?

Giải chi tiết:

a) Hai đỉnh B và D cách đều hai điểm A và C.

b) Hai đỉnh C, A cách đều hai đường thẳng AB và AD

Bài 9.8: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Lấy điểm M tùy ý nằm giữa B và C. (H. 9.12)

a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M thì AM < AB

Giải chi tiết:

a)

Gọi M₁ là trung điểm của cạnh đáy BC. Suy ra AM₁ ⊥ BC (Vì tam giác ABC cân tại A).

AM₁ chính là khoảng cách từ A đến BC.

Theo định lí về đường xiên và đường vuông góc ta có: AM AM₁

AM₁ nhỏ nhất AM AM₁ hay M M₁

Vậy khi M là trung điểm của BC thì AM sẽ có độ dài nhỏ nhất

b) C1:

Tam giác ABC cân tại A, M nằm giữa B và C Cần chứng minh AM < AB = AC.

+ Nếu thì theo định lí đường vuông góc và đường xiên, ta có:

AM < AB

+ Nếu là góc tù là góc lớn nhất trong tam giác ABC AB > AM.

+ Nếu là góc nhọn là góc tù (vì kề bù với ).

Xét tam giác AMC có:

là góc lớn nhất AC > AM.

C2: Khi M nằm giữa C và B

+ Nếu BM < MC là góc tù.

Theo định lý về góc và cạnh đối diện có: AB > AM

+ Nếu BM > MC là góc tù.

Theo định lý về góc và cạnh đối diện có: AC > AM

Mà AB=AC

AB > AM

Vậy với mọi điểm M thì AM < AB.

Bài 9.9: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai điểm M, N theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC (M,N không phải là đỉnh của tam giác) (H. 9.13). Chứng minh rằng MN < BC.

Giải chi tiết:

Nối N với B

Xét vuông tại A có:

là góc nhọn

180^o - là góc tù.

Xét có:

lớn nhất MN < BN (1)

Tương tự ta có:

Xét vuông tại A có:

là góc nhọn

là góc tù.

Xét có:

lớn nhất BN < BC (2)

Từ (1) và (2) MN < BC.