BÀI 34. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC

1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG MỘT TAM GIÁC

Bài 1: Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng, đánh dấu các đỉnh A,B,C rồi vẽ tam giác ABC. (H.9.29)

Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cát nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M.

- AM có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?

- Hãy xác định các tỉ số ; ;

Giải chi tiết:

Ta có: MB = MC và M nằm giữa B và C

M là trung điểm của BC.

AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC (định nghĩa)

Ta có:

Bài 2: Trong tam giác ABC ở ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.

Giải chi tiết:

Vì G là trọng tâm của ABC (gt)

hay GB = NB

Ta có: GN = NB – GB = NB - NB = NB

1 = NB NB = 3 cm

GB = NB = . 3 = 2 (cm).

Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không?

Giải chi tiết:

Xét tam giác ABC có:

AM là phân giác

BN là phân giác

AM BN = {I}

CI cũng là đường phân giác của tam giác. (tính chất đồng quy của 3 đường phân giác).

Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều 3 cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

Giải chi tiết:

Vì ΔABC đều AB = AC = BC (tính chất tam giác đều)

Vì I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC.

Áp dụng ví dụ 2, ta được, AI là đường trung tuyến của ΔABC

Tương tự, ta cũng được BI, CI là đường trung tuyến của ΔABC

Vậy I là giao điểm của ba đường đường trung tuyến của ΔABC nên I là trọng tâm của ΔABC.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 9.20: Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp vào chỗ chấm hỏi để được các đẳng thức

BG = ? BN, CG = ? CP;

BG = ? GN, CG = ? GP.

Giải chi tiết:

G là trọng tâm của tam giác ABC

=> CG = CP => CG= 2 GP

Tương tự : BG = BN => BG= 2 GN

Bài 9.21: Chứng minh rằng:

a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Giải chi tiết:

a) Ta có ∆ ABC cân tại A. BD và CE là trung tuyến với E là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC

∆ ABC cân tại A => AB = AC

Có : AE = AB. AD= AC => AE= AD

Xét ∆ ABD và ∆ ACE ta có: chung

AE = AD

AB= AC

=> ∆ ABD = ∆ ACE => BD= CE

b)

Gọi O là giao điểm của CE và BD

Ta có CE và BD là 2 đường trung tuyến nên O sẽ là trọng tâm của tam giác ∆ ABC

=> BO = BD. OD = BD

CO = CE. OE = CE

CE = BD => BO = CO. OD = OE

Xét ∆ EOB và ∆ DOC ta có:

BO = OC

OD = OE

= ( 2 góc đối đỉnh)

=> ∆ EOB = ∆ DOC => EB= DC

Có EB = AB

DC = AC => AB= AC => ∆ ABC cân tại A

Bài 9.22: Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng compa dựng đường tròn tâm O cắt Ox tại A và cắt Oy tại B. Sau đó dựng hai đường tròn tâm A, tâm B có bán kính bằng nhau sao cho chúng cắt nhau tại M nằm nên trong góc xOy. Chứng minh rằng tia OM là tia phân giác của góc xOy.

Giải chi tiết:

BM, CN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại
=> G là trọng tâm của tam giác ABC => BG= BM, CG= CN (1)

Xét theo định lí quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác ta có

Trong tam giác GBC: > => CG > GB (2)

Từ (1) và (2) => CN > BM

Bài 9.23: Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC bằng .

Giải chi tiết:

Có I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC

=> AI, BI, CI lần lượt là đường phân giác của 3 góc , ,

= 120° => + = 60°

Ta có : =

=

=> 2 + 2 = 60°

=> + = 30°

Xét trong tam giác IBC ta có: + + = 180°

=> = 180° - 30°= 150°

Bài 9.24: Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.

Giải chi tiết:

∆ABC cân tại A => AB = AC. = (1)

BE là đường phân giác của => = (2)

CF là đường phân giác của => = (3)

Từ (1), (2), (3) => =

Xét ∆ ABE và ∆ ACF, ta có: chung

AB= AC

= => ∆ ABE = ∆ ACF => BE = CF

Bài 9.25: Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.

a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.

b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.

c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A? ( Đây là một cách chứng minh định lí 2)

Giải chi tiết:

a) Ta có ∆ BPD và ∆ BRD đều là tam giác vuông tại và

Xét 2 tam giác vuông là ∆ BRD và ∆ BPD ta có: Chung cạnh BD

= ( BD là phân giác của hay )

=> ∆ BRD = ∆ BPD => DR= DP

b) Ta có ∆ CPD và ∆ CQD đều là tam giác vuông tại và

Xét 2 tam giác vuông là ∆ CPD và ∆ CQD ta có: Chung cạnh CD

= ( CD là phân giác của hay )

∆ CPD = ∆ CQD DP= DQ

c) Từ a và b ta có DR= DQ

Xét 2 tam giác vuông là ∆ ARD và ∆ AQD ta có:

Chung cạnh AD

DR= DQ ∆ ARD = ∆ AQD =

D nằm trên đường phân giác của