BÀI 35. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC TRONG MỘT TAM GIÁC

Bài 1: Vẽ tam giác ABC ( không tù) và ba đường trung trực của các đoạn BC, CA, AB. Quan sát hình và cho biết ba đường trung trực đó có cùng đi qua một điểm hay không?

Giải chi tiết:

Ba đường trung trực DP, DQ, DR cùng cắt nhau tại điểm D.

Bài 2: Dùng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, hãy lập luận để suy ra tính chất nói ở HĐ1 bằng cách trả lời các câu hỏi sau:

Cho O là giao điểm các đường trung trực của hai cạnh BC và CA (H.9.38)

a) Tại sao OB = OC, OC = OA.

b) Điểm O có nằm trên đường trung trực của AB không?

Giải chi tiết:

a) Gọi M là giao điểm của BC với đường trung trực của BC

=> OM là đường trung trực của BC, OM⊥ BC

Xét ∆OBM và ∆ OCM ta có: 2 tam giác đều vuông tại M

MB= MC ( M là trung điểm của CB)

OM chung => ∆OBM = ∆ OCM => OB= OC

Tương tự, ta có OC= OA

b) Từ câu a ta có OA=OB => ∆OAB là tam giác cân tại O

Kẻ ON ⊥ AB=> ON là đường trung tuyến của AB và N là trung điểm của AB

=> O thuộc đường trung trực của AB

Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác đều ABC, trọng tâm G cách đều 3 đỉnh của tam giác đó.

Giải chi tiết:

Gọi AN, CM, BP là 3 đường trung tuyến của tam giác đều ABC, giao nhau ở điểm G.

Xét ∆ ANB và ∆ ANC, có:

AN chung

NB= NC

AB= AC =>∆ ANB = ∆ ANC => =

=> AN hay AG là đường phân giác của

Tương tự BP hay BG là đường phân giác của

=> G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC mag G là trọng tâm

=> G là giao điểm của 3 đường trung trực => G cách đều 3 điểm A,B,C

2. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

Bài 1: Vẽ tam giác ABC và 3 đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết, ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không ?

Giải chi tiết:

Ba đường cao AN, BP, CM cùng đi qua điểm H.

Bài 2:

a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều ba cạnh của tam giác.

Giải chi tiết:

a)Gọi AD là đường trung tuyến và đường phân giác tại đỉnh A của ∆ ABC

Xét ∆ ADB và ∆ ADC, có: AB=AC

DB=DC

AD chung =>∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)

=> =

Mà + = 180^o => = = 90^o

=>AD vuông góc với BC

mà DA=DB =>AD là đường trung trực của tam giác ABC

b) G là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC đều

GM, GN, GP là khoảng cách từ G đến AB, BC, AC

Xét ∆ AGB và ∆ AGC, có: AG chung

GB= GC

AB= AC => ∆ AGB = ∆ AGC (c.c.c)

=> = => AG là đường phân giác của

Tương tự ta có: CG là đường phân giác của

=> G là điểm giao nhau giữa 2 đường phân giác AG và CG

=> G cách đều 3 cạnh AB,AC, BC.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 9.26: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB.

Giải chi tiết:

Trong ΔABC ta có H là trực tâm nên:

AH ⊥ BC tại N, BH ⊥ AC tại P, CH ⊥ AB tại M

Trong ΔAHB, ta có:

AC ⊥ BH

BC ⊥ AH =>C là trực tâm của tam giác AHB.

Trong ΔHAC, ta có: AB ⊥ CH

CB ⊥ AH => B là trực tâm của ΔHAC.

Trong ΔHBC, ta có: BA ⊥ HC

CA ⊥ BH => A là trực tâm của tam giác HBC

Bài 9.27: Cho tam giác ABC có và trực tâm H. Tìm góc BHC.

Giải chi tiết:

Gọi E là chân đường cao từ C xuống AB, D là chân đường cao từ B xuống AC

Bài 9.28: Xét điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.

Giải chi tiết:

O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC => O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC => OA= OB= OC

=> ∆ OAB cân tại O. => =

∆ OAC cân tại O => +

Xét ∆ OAB ta có: + + = 180°

=> 2 + = 180° => = 180° - 2

Tương tự ta có = 180° - 2

O thuộc BC => + = 180°

=.> 180° - 2 + 180° - 2 = 180°

=> 360° - 180° = 2 + 2

=> 180° = 2 ( + )

=> = 90° => ∆ ABC vuông tại A

Bài 9.29:

a) Có một chi tiết máy ( đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. (H.9.46). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?

b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy tìm trên bản đồ một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học.

Giải chi tiết:

a) Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy.

Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại O. Khi đó O là tâm cần xác định.

Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn OB (hoặc OA hoặc OC).

Ta có hình vẽ minh họa

b) Vẽ đường trung trực của các đoạn AB, AC, BC

3 đường trung trực này cắt nhau tại M. Khi đó MA= MB=MC

M là điểm cần xác định

Ta có hình minh họa

Bài 9.30: Cho hai đường thẳng không vuông góc b,c cắt nhau tại điểm A và cho điểm H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.

Giải chi tiết:

Kẻ HD ⊥ đường thẳng c tại điểm D, HE⊥ đường thẳng b tại điểm E

Nối A với H. Lấy điểm B thuộc đường thẳng b sao cho BE nằm giữa B và A

Từ B kẻ đường vuông góc với AH, đường thẳng đó cắt đường thẳng c tại 1 điểm. Điểm đó chính là điểm C => H là trực tâm của tam giác ABC