BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX

Bài tập 9.36: Cho tam giác ABC có là góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B, lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.

Giải chi tiết:

Vì là góc tù nên , là các góc nhọn

=> là góc tù.

=>DC >DE (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác DEC). (1)

Xét tam giác ADC có:

là góc tù nên , là các góc nhọn

=> là góc tù.

=>BC >DC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BDC) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: BC > DE

Bài tập 9.37: Cho tam giác ABC ( AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA ( H.9.52)

a) So sánh và

b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE.

Giải chi tiết:

a)AB > AC => < ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ABC)

+ = 180° => = 180°-

+ = 180° => = 180°-

=> 180°- < 180°-

=> <

Tam giác ABD cân tại B (BD= BA) => = 180°- 2

Tam giác ACE cân tại C ( CE= CA) => = 180°- 2

=> 180°- 2 > 180°- 2

=> <

b) Xét tam giác ADE ta có : <

=> AD > AE

Bài tập 9.38: Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) AI < (AB + AC)

b) AM < (AB + AC)

Giải chi tiết:

a) AI là đường cao từ A xuống đoạn thẳng BC=> AI là khoảng cách từ A đến BC => AI ngắn nhất

=> AI < AB và AI < AC

Cộng 2 vế với nhau ta có : 2 AI < AB + AC

=> AI < (AB + AC)

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD

Xét ∆ ABM và ∆ DCM có

AM = DM ( M là trung điểm của AD)

BM=CM ( M là trung điểm của BC)

= ( 2 góc đối đỉnh)

=> ∆ ABM = ∆ DCM

=>AB = CD

Xét ∆ ADC ta có: AD < AC + CD

=> 2AM < AC + AB

=> AM < (AB + AC)

Bài tập 9.39: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD= 2 DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A

Gợi ý D là trọng tâm của tam gíac ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là trung tuyến.

Giải chi tiết:

C là trung điểm của AE => BC là trung tuyến của tam giác ABE (1)

D thuộc BC, BD= 2DC

=> BC= BD + DC = 2DC + DC = 3DC => DC = BC (2)

Từ (1) và (2)=> D là trọng tâm của tam giác ABE

=> AD là đường trung tuyến ứng với BE

mà AD là đường phân giác của hay thuộc tam giác ABE

=> Tam giác ABE cân tại A