THAcirc;N MẾN CHAgrave;O CAacute;C EM HỌC SINH ĐẾN VỚI BAgrave;I HỌC MỚI

BAgrave;I TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

Bagrave;i 1. Cho tam giaacute;c ABC. Gọi Bx vagrave; Cy lần lượt lagrave; caacute;c đường chứa tia phacirc;n giaacute;c của caacute;c goacute;c ngoagrave;i tại đỉnh B vagrave; C. Gọi H vagrave; K lần lượt lagrave; higrave;nh chiếu của A trecirc;n Bx vagrave; Cy

1. a) Chứng minh tứ giaacute;c BCKH lagrave; higrave;nh thang.
2. b) Tam giaacute;c ABC phải coacute; điều kiện gigrave; để higrave;nh thang BCKH lagrave; higrave;nh thang cacirc;n.

Giải

1. a) Gọi D vagrave; E lần lượt lagrave; giao điểm của AH vagrave; AK với đường thẳng BC

∆ABD coacute; BH vừa lagrave; phacirc;n giaacute;c, vừa lagrave; đường cao necirc;n lagrave; tam giaacute;c cacirc;n

=> HA = HD

Tương tự, ta coacute;: KA = KE

Xeacute;t ∆ADE coacute; HK lagrave; đường trung bigrave;nh necirc;n HK // DE => HK // BC

Vậy tứ giaacute;c BCKH lagrave; higrave;nh thang.

1. b) Ta coacute; : (H_1 ) ̂=(B_1 ) ̂;(K_1 ) ̂=(C_1 ) ̂ (slt)

Higrave;nh thang BCKH lagrave; higrave;nh thang cacirc;n =>(H_1 ) ̂=(K_1 ) ̂=>(B_1 ) ̂=(C_1 ) ̂

=>(ABD) ̂=(ACE) ̂=>(ABC) ̂=(ACB) ̂=>∆ABC cacirc;n tại A

Bagrave;i 2. Cho ∆ABC trực tacirc;m H, gọi O lagrave; giao của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng caacute;ch từ O đến BC bằng nửa độ dagrave;i đoạn AH

Giải

Gọi M vagrave; N lần lượt lagrave; trung điểm của BC vagrave; CA.

Gọi F vagrave; G lần lượt lagrave; trung điểm của AH vagrave; BH

Ta coacute; MN lagrave; đường trung bigrave;nh của ∆ABC; FG lagrave; đường trung bigrave;nh của ∆ABH

=> MN // AB vagrave; MN=1/2 AB

=> FG // AB vagrave; FG=1/2 AB

Do đoacute;: MN // FG vagrave; MN = FG

Dễ thấy OM // AD vagrave; ON // BE

Xeacute;t ∆OMN vagrave; ∆HFG coacute;:

+ MN=FG;

+ (OMN) ̂=(HFG) ̂

+ (ONM) ̂=(HGF) ̂ (hai goacute;c coacute; cạnh tương ứng song song)

Vậy ∆OMN=∆HFG (g.c.g)=>OM=HF=AH/2

Bagrave;i 3. Cho tam giaacute;c ANC cacirc;n tại A, đường cao AH vagrave; đường phacirc;n giaacute;c BD. Biết rằng AH=1/2 BD, tiacute;nh số đo caacute;c goacute;c của tam giaacute;c ABC

Giải

Gọi M lagrave; trung điểm của BD thigrave;:

MD=1/2 BD=AH

∆ABC cacirc;n tại A, AH lagrave; đường cao necirc;n HB = HC

Ta coacute; HM lagrave; đường trung bigrave;nh của ∆BCD => HM // AC

Higrave;nh thang HMAD coacute; hai đường choacute;e bằng nhau necirc;n lagrave; higrave;nh thang cacirc;n.

∆ADH=∆DAM (c.c.c)=>(A_1 ) ̂=(D_1 ) ̂hArr;90deg;-C ̂=(B_1 ) ̂+C ̂ (1)

Ta đặt: B ̂=C ̂=x thigrave; (1) hArr;90deg;-x=x/2+x hArr;x=36deg;

Vậy ∆ABC coacute; B ̂=C ̂=36deg;;A ̂=108deg;

Bagrave;i 4. Cho đoạn thẳng AB vagrave; n điểm O_1, O_2,hellip;, O_n khocirc;ng nằm giữa A vagrave; B sao cho O_1 A+O_2 A+hellip;+O_n A=O_1 B+O_2 B+hellip;+O_n B=a.

Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho O_1 M+O_2 M+hellip;+O_n Mle;a

Giải

* Trường hợp 1:

O nằm trecirc;n tia đối của tia AB hay tia đối của tia BA, ta chứng minh được :

OM=(OA+OB)/2 (1)

* Trường hợp 2:

Trường hợp O khocirc;ng thẳng hagrave;ng với A vagrave; B

Gọi N lagrave; trung điểm của OB, khi đoacute; MN lagrave; đường trung bigrave;nh của ∆OAB

MN=OA/2

Xeacute;t ∆OMN, ta coacute;: OM < MN + ON

=>OM<(OA+OB)/2 (2)

Từ (1)(2) suy ra: OMle;(OA+OB)/2 (*)

Aacute;p dụng hệ thức (*) với n điểm O_1, O_2,hellip;, O_n ta coacute;:

O_1 Mle;(O_1 A+O_1 B)/2;O_2 Mle;(O_2 A+O_2 B)/2;hellip;;O_n Mle;(O_n A+O_n B)/2

Cộng trừ caacute;c vế bất đẳng thức ta coacute;:

O_1 M+O_2 M+hellip;+O_n Mle;(O_1 A+O_1 B)/2+(O_2 A+O_2 B)/2+hellip;+(O_n A+O_n B)/2

=(O_1 A+O_2 A+hellip;+O_n A)/2+(O_1 B+O_2 B+hellip;+O_n B)/2=a/2+a/2=a

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

Bagrave;i 1. Cho tam giaacute;c ABC, caacute;c trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G.

1. a) Tiacute;nh AE/AC
2. b) Tiacute;nh AG/GD
3. c) Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG vagrave; GD

Giải

1. a) Coacute; E lagrave; trung điểm của AC (vigrave; BE lagrave; trung tuyến)

=> AE/AC=1/2 (tiacute;nh chất trung điểm của đoạn thẳng)

1. b) ∆ABC coacute; caacute;c trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G

=>G lagrave; trọng tacirc;m ∆ABC

=>AG/GD=2/1=2

1. c) G lagrave; trong tacirc;m ∆ABC=>AG/GD=BG/GE=CG/GF

=> BG vagrave; GE lagrave; cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG vagrave; GD

=> CG vagrave; GH lagrave; cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG vagrave; GD

Bagrave;i 2. Cho goacute;c xOy. Trecirc;n tia Ox lấy theo thứ tự hai điểm A vagrave; B sao cho

OA = 2cm; AB = 3cm. Trecirc;n tia Oy lấy C với OC = 3cm.

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D. Tiacute;nh độ dagrave;i CD?

Giải

Xeacute;t ∆OBD coacute;: AC // BD (gt)

=> AO/AB=OC/CD (định liacute; Talet)

=> CD=(AB.OC)/OA=3.3/2=4,5 cm

Bagrave;i 3. Cho tam giaacute;c ABC coacute; AM lagrave; trung tuyến vagrave; điểm E thuộc đoạn MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D vagrave; cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với Ab cắt AC ở F. Chứng minh AF = DK.

...