BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG X

(15 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là bao nhiêu?

Giải:

Diện tích đáy ABCD là

Thể tích khối chóp cần tìm là

Câu 2: Thể tích khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là bao nhiêu?

Giải:

Đáy ABC là tam giác đều có diện tích là

Thể tích khối chóp cần tìm là

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là 100 ; chiều cao của hình chóp là 3cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Giải:

Thể tích của hình chóp đều là

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là

Câu 4:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3cm, chiều cao của hình chóp là h = 2cm. Thể tích của hình chóp đã cho là?

Giải:

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là 100 ; chiều cao của hình chóp là 3cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Giải:

Thể tích của hình chóp đều là

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SA = 13cm và độ dài cạnh đáy là . Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều.

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC có:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAO có:

nên

Diện tích đáy là

Vậy

Câu 2: Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải:

Chóp tam giác đều S.ABC có SH ⊥ (ABC) nên H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có

Diện tích đáy

Vì H là trọng tâm tam giác ABC ⇒

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ASH vuông tại H ta được

Vậy thể tích của hình chóp là

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, có . Tính diện tích xung quanh hình chóp.

Giải:

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có CM AB và AM = BM.

Vì H là trọng tâm ΔABC nên:

Ta có SM = CM (đường cao hai tam giác đều và bằng nhau) nên

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, có . Tính độ dài BA.

Giải:

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có AM = BM.

Vì H là trọng tâm ΔABC nên:

Đặt , ta có (định lý Pytago cho ΔMBC) nên

Vậy

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có đáy là hình vuông cạnh 2cm. Các mặt bên là các tam giác cân có đường cao bằng 7cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABCD.

Giải:

Diện tích đáy

Diện tích xung quanh là

Diện tích toàn phần là

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Một kim tự tháp có dạng là một hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng 320m², các mặt bên là các tam giác đều. Biết đường cao của một mặt bên là 20m. Hãy tính cạnh của đáy.

Giải:

Gọi độ dài cạnh đáy là

Do tất cả các mặt bên là tam giác đều nên cạnh của các mặt bên cũng bằng

Diện tích một mặt bên là

Khi đó diện tích xung quanh của kim tự tháp là

Theo đề bài ta có

Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp.

Giải:

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi N là trung điểm của BC

Hình nón ngoại tiếp hình chóp có chiều cao là

SH = 2a, bán kính đáy là

Suy ra đường sinh

Diện tích xung quanh là

Câu 3: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.

Giải:

Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.

Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = AM.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được

Do đó

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H ta được

Áp dụng

Ta có:

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1:Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao h = 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là

Giải:

Gọi O là tâm của tam giác ABC.

suy ra ;

Trong tam giác vuông SAO, áp dụng định lí Pytago ta có

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I

suy ra IS = IA = IB = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Gọi H là trung điểm của SA, ta có tam giác SHI đồng dạng với tam giác SOA nên

Vậy diện tích mặt cầu .

Câu 2: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

Giải:

Kẻ thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Mà

Suy ra