LUYỆN TẬP CHUNG (1)

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hai tam giác đồng dạng như hình. Độ dài của DE là bao nhiêu?

Giải:

Tam giác FED đồng dạng với tam giác ABC nên

⇒ ⇒ ED = 10,8 × = 10,8 × 1,25 = 13,5

Câu 2: Cho hai tam giác đồng dạng như hình. Độ dài của AC là bao nhiêu?

Giải:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDF nên

⇒ ⇒ AC = 5,6 × = 5,6 × 0,75 = 4,2

Câu 3: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Nhìn vào hình vẽ hãy viết các cặp góc bằng nhau. Chứng minh

Giải:

Các cặp góc bằng nhau

Suy ra

Câu 4: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNQ biết AB = 8 cm, BC = 4 cm, AC = 10 cm, MN = 2 cm. Tính các cạnh còn lại của ΔMNQ.

Giải:

ΔABC ΔMNQ

Mà AB = 8 cm, BC = 4 cm, AC = 10 cm, MN = 2 cm nên

Câu 5: Cho hình vẽ dưới đây với OA = 5cm, OB = 16cm, OC = 8cm, OD = 10cm.

Chứng minh tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD.

Giải:

Xét hai tam giác OCB và ODA, ta có

Góc O chung

Vậy tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD (c.g.c)

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC, vẽ tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng .

Giải:

• Dựng ΔADE ΔABC theo tỉ số

Trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho

Suy ra

Khi đó theo định lý Ta - let đảo ta suy ra DE // BC

⇒ ΔADE ΔABC theo tỉ số (định lý)

• Dựng ΔA’B’C’ = ΔADE

Vẽ đoạn A’B’ = AD.

Dựng góc

Trên tia B’x lấy điểm C’ sao cho B’C’ = DE

Nối C’A’ ta được ΔA’B’C’ = ΔADE (c.g.c)

Suy ra ΔA’B’C’ đồng dạng với ΔADE theo tỉ số

Mà ΔADE ΔABC theo tỉ số

Suy ra ΔA’B’C’ ΔABC theo tỉ số

Câu 2: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đồng dạng theo tỉ số . Biết rằng tổng chu vi của hai tam giác bằng 180 m. Tính chu vi của mỗi tam giác.

Giải:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’

Câu 3: Tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 6cm. Tam giác MNP có MN = 9cm, NP = 4,5cm, PM = 7,5cm. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác NPM.

Giải:

Ta có 3 < 5 < 6; 4,5 < 7,5 < 9

Và

mà AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 6cm, MN = 9cm, NP = 4,5cm, PM = 7,5cm

Suy ra nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác NPM.

Câu 4: Tứ giác ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm, CD = 18cm, AD = 10cm, BD = 12cm. Chứng minh rằng

a) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC.

b) ABCD là hình thang.

Giải:

a) Ta có nên tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC (c.c.c)

b) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC nên . Hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vậy ABCD là hình thang.

Câu 5: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP và AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 4 cm. Tính các cạnh của ΔMNP biết chu vi của tam giác này là 36 cm.

Giải:

Câu 6: Cho tam giác ABC có , AB = 4 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC

Xét ∆ABC và ∆ADB có chung,

suy ra ∆ABC ∆ADB (g.g)

→ CD = 6 (cm)

∆ABC có BD là đường phân giác nên

Câu 7: Cho tam giác ABC có Các điểm D, E lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho AD = 3cm, AE = 4cm.

a) Chứng minh rằng

b) M là điểm trên cạnh BC sao cho. Gọi N là giao điểm của AM và DE. Chứng minh rằng

Giải:

a) Ta có (vì ) (1)

Xét có (định lý Ta - lét đảo )

b) Xét có nên

Xét có nên

Từ (1) và (2) và (3) có

Mà (gt), nên

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình thang ABCD có (AB//DC). E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng È đi qua trung điểm của AB và qua trung điểm của DC.

Giải:

Qua F vẽ đường thẳng song song với DC và cắt AD tại I, cắt BC tại K, vì IK//DC,AB//DC ( gt) nên IK//AB

FAB có AB//DC nên ( hệ quả của định lý Ta – lét)

hay

có IF//DC, nên (hệ quả của định lý Ta - lét)

BDC có FK//DC, nên (hệ quả của định lý Ta - lét)

Suy ra IF = FK.

có IF//DN, nên (hệ quả của định lý Ta - lét)

ECN có FK//NC, nên (hệ quả của định lý Ta - lét)

Do đó mà

Câu 2: Cho hình thang ABCD ( AB // CD). O là giao điểm của AC và DB. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD ở M. Chứng minh rằng

a)

b)

Giải:

a) Xét OAB và OCD có

(đối đỉnh)

(so le trong và AB//CD)

Do đó

b) Ta có OM // AB (gt), AB//CD (gt) OM // CD

Xét ABD có OM // AB (hệ quả của định lí Ta – lét)

Xét có OM // CD (hệ quả của định lí Ta – lét)

Do đó

Câu 3 : Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM cắt đường phân giác ở N.

Chứng minh rằng

Giải:

Qua D vẽ đường thẳng song song với BM cắt AC ở E.

Xét có MN//DE

Xét có

Xét ABC có CD là đường phân giác

Mà AM = MC (M là trung điểm của AC)

Do đó

Hay

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.

a) Chứng minh và

b) Chứng minh

Giải:

a)

b)

Từ các kết quả trên suy ra đpcm

Câu 2: Cho có 3 góc nhọn, các đường cao cắt nhau ở . Chứng minh:

a)

b) và suy ra các hệ thức tương tự

c) và suy ra các kết quả tương tự

d) và

e) và suy ra các kết quả tương tự.

f) Điểm H cách đều 3 cạnh của

Giải:

a) Vì là đường cao của

Xét và có:

(1)

Xét và có

và

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

b) Xét và có

c) Xét và có:

Xét và có:

Tương tự ta có

d) Vì

Xét và có :

Chứng minh tương tự ta có

e) Vì (cùng phụ với)

Xét và có :

Tương tự ta có

f)

là tia phân giác (3)

Lại có (cùng phụ với)

Mà

là tia phân giác (4)

Từ (3) và (4) suy ra H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H cách đều 3 cạnh của tam giác FED.