BÀI 38: HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU

(15 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là 100 ; chiều cao của hình chóp là 3cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Giải:

Thể tích của hình chóp đều là

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là

Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều cạnh 3 cm và độ dài trung đoạn là 5 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Giải:

Nửa chu vi của đáy ABC là

Áp dụng công thức diện tích xung quanh của hình chóp

Câu 3: Thể tích khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là bao nhiêu?

Giải:

Đáy ABC là tam giác đều có diện tích là

Thể tích khối chóp cần tìm là

Câu 4:Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 4cm, chiều cao của hình chóp là 6cm. Tính thể tích của hình chóp là?

Giải:

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là

Vậy thể tích của hình chóp là

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều cạnh 5cm và độ dài trung đoạn là 6cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Giải:

Nửa chu vi của đáy ABC là

Áp dụng công thức diện tích xung quanh của hình chóp

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6cm

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải:

Chóp tam giác đều S.ABC có SH ⊥ (ABC) nên H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có

Diện tích đáy

Vì H là trọng tâm tam giác ABC ⇒

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ASH vuông tại H ta được

Vậy thể tích của hình chóp là

Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, có . Tính diện tích xung quanh hình chóp.

Giải:

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có CM AB và AM = BM.

Vì H là trọng tâm ΔABC nên:

Ta có SM = CM (đường cao hai tam giác đều và bằng nhau) nên

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều SABC.

Giải:

Dựng SO⊥ ΔABC, Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta có

Tam giác ABC đều nên tam giác SAO vuông, áp dụng Pi - ta - go ta có

Vậy

Câu 4:Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, . Hãy tính thể tích của khối chóp đó..

Giải:

Kẻ SH ⊥ (ABC) . Đường thẳng AH cắt BC tại I.

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên H là trọng tâm của ΔABC.

Do đó

Vậy

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, có . Tính độ dài BA.

Giải:

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có AM = BM.

Vì H là trọng tâm ΔABC nên:

Đặt , ta có (định lý Pytago cho ΔMBC) nên

Vậy

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp.

Giải:

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi N là trung điểm của BC

Hình nón ngoại tiếp hình chóp có chiều cao là

SH = 2a, bán kính đáy là

Suy ra đường sinh

Diện tích xung quanh là

Câu 2: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.

Giải:

Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.

Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = AM.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được

Do đó

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H ta được

Áp dụng

Ta có:

Câu 3: Cho hình chóp đều S.ABC. Chứng minh rằng mỗi cạnh bên của hình chóp đó vuông góc với cạnh đối diện, mỗi mặt phẳng chứa một cạnh bên và đường cao của hình chóp đều vuông góc với cạnh đối diện.

Giải:

* S.ABC là hình chóp đều ⇒ △ABC là tam giác đều ⇒ SA = SB = SC.

Do đó khi ta vẽ SH ⊥ (ABC)

⇒ H là trọng tâm của △ABC đều và có AH ⊥ BC.

Theo định lý ba đường vuông góc ⇒ SA ⊥ BC

Chứng minh tương tự ta được SB ⊥ AC; SC ⊥ AB.

* Vì BC ⊥ AH và BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SAH)

Chứng minh tương tự ta có CA ⊥ (SBH) và AB ⊥ (SCH).

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1:Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao h = 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là?

Giải:

Gọi O là tâm của tam giác ABC

suy ra ;

Trong tam giác vuông SAO, áp dụng định lí Pytago ta có

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I

suy ra IS = IA = IB = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Gọi H là trung điểm của SA, ta có tam giác SHI đồng dạng với tam giác SOA nên

Vậy diện tích mặt cầu .

Câu 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho . Mặt phẳng qua chia hình chóp tam giác đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này.

Giải:

Thiết diện là hình thang MNEF là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Đặt